Probar que cualquier subgrupo de $F_5$ de índice 3 es isomorfo a $F_{13}$

Question

Sea $F_n$ el grupo libre sobre $n$ elementos. Demuestra que cualquier subgrupo de $F_5$ de índice 3 es isomorfo a $F_{13}$.

Noté que el producto wedge de 13 copias de $S^1$ es un recubrimiento de 3 fold de 5 copias de $S^1$. ¿Pero cómo puedo probar que todo recubrimiento de 3 fold cumple con esta propiedad?

Answer 1

M.Hall, La Teoría de Grupos, Teorema 7.2.8:

Sea $U$ un subgrupo de índice finito $n$ en un grupo libre $F_r$ con $r$ generadores libres. Entonces $U$ es un grupo libre con $1 + n(r-1)$ generadores libres.

En tu caso $1 + n(r - 1)=13$.