Relación entre los espacios de Sobolev-Slobodeckij y los espacios de Besov

Question

Estoy tratando de entender estas dos formas diferentes de definir espacios de Sobolev fraccionarios. En particular, quiero determinar inclusiones o igualdades entre los espacios de Besov $B^{s}_{p,p}$ y los espacios de Slobodeckij $W^{s,p}$. He leído en algún lugar que deberían ser iguales, pero no puedo encontrar una prueba en ninguno de los textos clásicos. El espacio de Besov se define a través de los operadores de Littlewood-Paley como la completitud del lado derecho

$$B^{s}_{p,p} = \left\{f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d) \ : \ \left(\int_{\mathbb{R}^d} \sum_{j=0}^\infty 2^{jsp}|P_jf(x)|^p \ dx \right)^{1/p}<\infty\right\}.$$

Mientras que el espacio de Slobodeckij es la completitud del lado derecho de $$W^{s,p} = \left\{f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d) \ : \ \left(\int \int \frac{|f(x+h)-f(x)|^p}{|h|^{d+sp}}\ dh \ dx\right)^{1/p} <\infty\right\}.$$

Entonces, he intentado demostrar que estos dos espacios son iguales. He logrado mostrar que

$$\|f\|_{B^s_{p,p}} \lesssim \|f\|_{W^{r,q}}$$ donde $s \le r$ y $p \le q$, con al menos uno de ellos siendo estricto. Para esto, dejemos $\varphi_j = \check{\psi_j}$ donde $\psi_j$ es el multiplicador de Fourier para $P_j$. Para $j \ge1$, $\psi_j$ está localizado en el anillo $2^{j-1} <|\xi|<2^{j+1}$, por lo que $\int \varphi_j = \hat{\varphi}_j(0) = \psi_j(0)=0.$

$$P_jf(x) = \int f(x-h) \varphi_j(h) \ dh = \int [f(x-h) - f(x)]\varphi_j(h) \ dh$$ $$\Rightarrow |P_jf(x)| \le \int \frac{|f(x-h) -f(x)|}{|h|^{s+d/p}} |\varphi(h)| |h|^{s+d/p} \ dh$$ $$\le \left\|\frac{f(x+ \cdot) - f(x)}{|\cdot|^{s+d/p}}\right\|_{L^p} \left(\int |\varphi_j(h)|^{p'} |h|^{p'(s + d/p)} \ dh\right)^{1/p'}.$$

Estimamos esa última integral mediante escalado para obtener el resultado que afirmé. Por lo tanto, si es cierto que $B^s_{p,p} = W^{s,p}$, este método no es suficiente; necesitamos una estimación más precisa.

¿Es cierta la igualdad? ¿Ambas inclusiones son válidas? ¿Qué tipo de inclusión puedo obtener de la forma $B_{q,q}^r \subset W^{s,p} $? Cuando $p \neq 2$, tengo dificultades para controlar el cociente de diferencias en la norma de $W^{s,p}$ por las proyecciones de Littlewood-Paley.

También agradecería cualquier referencia. He buscado en los libros de Triebel, en uno de los cuales se afirma que la equivalencia de normas es verdadera. Pero esto me lleva a una búsqueda a través de referencias, cada una refiriéndose a otro libro y no puedo encontrar la prueba real.

Answer 1

Mi profesor me mostró cómo hacer que la primera dirección sea nítida, y logré obtener la otra dirección también. Publicaré los trazos generales de la prueba. Aplicar Holder o la desigualdad de Jensen a $|P_jf(x)|$ para obtener $$\|f\|_{B_{p,p}^s}^p \lesssim \|f\|_p^p + \|\check{\psi}_1\|_1^{p-1} \int_{\mathbb{R}^d} \sum_{j=1}^\infty 2^{jsp}\int_{\mathbb{R}^d}|\check{\psi}_j(x-y)||f(x)-f(y)|^p \ dy \ dx.$$ Ahora se trata de acotar directamente el núcleo $\sum_{j=1}^\infty 2^{jsp}|\check{\psi}_j(x-y)|$. Debido al hecho de que $\check{\psi}_1 \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$, es legítimo pensar en $\check{\psi}_1$ como compactamente soportada en algún bola $B_R$. Esta parte puede hacerse rigurosa. Luego escribiendo $\check{\psi}_j(x-y) = 2^{jd}\check{\psi}_1(2^j(x-y))$, encontramos la restricción $$2^j|x-y|\le R \Rightarrow 1\le j \le \lg\left(\frac{R}{|x-y|}\right).$$ Entonces acotamos la suma como $$\sum_{j=1}^\infty 2^{jsp}|\check{\psi}_j(x-y)| \le \sum_{j=1}^{\lg(R/|x-y|)} 2^{j(sp+d)} \simeq |x-y|^{-d-sp}$$ para concluir $$\|f\|_{B^s_{p,p}} \lesssim \|f\|_{W^{s,p}}.$$ La prueba original en mi pregunta no es óptima porque no aprovecha la "casi ortogonalidad" de las proyecciones $P_j$ (aunque no es cierto que $\|f\|_p^p \lesssim \sum \|P_jf\|_p^p$, todavía disfrutan de cierta bonita sumabilidad en $\ell^p$).

Para la otra dirección, hacemos uso cuidadoso de la estimación de tipo Bernstein $$\|P_jf -\tau_hP_jf\|_p \lesssim \min(1,|h|)\|\nabla P_jf\|_p \simeq \min(1, 2^j|h|)\|P_jf\|_p$$ es decir, solo queremos usarlo cuando $|h|<< 2^{-j}$, de lo contrario lo acotamos por $2\|P_jf\|_p$. Ahora el problema se reduce a una descomposición simultánea del espacio físico y del espacio de frecuencias y usando la estimación óptima en cada bloque. Definir $\omega_f(r)= \sup_{|h| \le r} \|f-\tau_hf\|_p$, que es creciente. Luego

$$\|f\|_{W^{s,p}}^p = \int_{\mathbb{R}^d} |h|^{-d-sp} \|f-\tau_hf\|_p^p \lesssim_d \int_0^\infty r^{-sp-1}\omega_f(r)^p \ dr$$ $$= \sum_{\ell=-\infty}^\infty \int_{2^{-\ell-1}}^{2^{-\ell}} r^{-sp-1} \omega_f(r)^p \ dr$$ $$\lesssim \sum_{\ell = -\infty}^\infty 2^{\ell s p} \omega_f(2^{-\ell})^p.$$

De la estimación de Bernstein, $$\omega_f(2^{-\ell}) \le \sup_{|h|\le 2^{-\ell}} \left\|\sum_{j=0}^\infty P_jf - \tau_h P_j f\right\|_p$$ $$\lesssim \sup_{|h| \le 2^{-\ell}} \sum_{j=0}^\infty \min(1, 2^j|h|) \|P_jf\|_p \simeq \sum_{j=0}^\infty \min(1,2^{j-\ell})\|P_jf\|_p.$$

Por lo tanto, $$\|f\|_{W^{s,p}} \lesssim \left(\sum_{\ell=-\infty}^\infty \left(2^{\ell s} \omega_f(2^{-\ell})\right)^p\right)^{1/p}$$ $$\lesssim \left(\sum_{\ell=-\infty}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty2^{\ell s} \min(1,2^{j-\ell}) \|P_jf\|_p\right)^p\right)^{1/p}$$ $$=\left(\sum_{\ell=-\infty}^\infty \left(\sum_{j=0}^\infty2^{(\ell-j) s} \min(1,2^{j-\ell}) 2^{js}\|P_jf\|_p\right)^p\right)^{1/p}$$ $$=\|\alpha \ast \beta\|_{\ell^p}$$ donde $$\alpha_j \equiv \begin{cases} 2^{js}\|P_jf\|_p & j\ge 0 \\ 0 & j<0\end{cases}$$ $$\beta_\ell \equiv 2^{\ell s}\min(1,2^{-\ell}), \ \ \ \ell \in \mathbb{Z}.$$ Observar $\|\alpha\|_{\ell^p} = \|f\|_{B^s_{p,p}}$, y que $\beta \in \ell^1$ para concluir. Supongo que esta fue prácticamente toda la prueba.