¿Teoría de Hamilton-Jacobi y problema de valor inicial?

Question

Después de leer algunos posts recientes sobre la formulación Lagrangiana siendo interpretada como un problema de valores iniciales en lugar del conocido problema de condiciones de contorno, tengo una pregunta sobre la teoría de Hamilton-Jacobi (HJT).

Mi entendimiento de (HJT) es que podemos ver las transformaciones canónicas como un avance infinitesimal en el tiempo usando la función del principio de Hamilton y, por lo tanto, considerar un problema como un problema de valores iniciales, muy similar a la física newtoniana. Esto está respaldado por el siguiente resultado de muchos textos clásicos de física, donde la acción de Hamilton-Jacobi difiere de la acción Lagrangiana hasta alguna constante $S_0(\boldsymbol{q_0})$ que desaparece al realizar variaciones $\delta S$. \begin{equation} S(\boldsymbol{q,\alpha},t)=\int ^{t}_{t_0}\mathcal L(\boldsymbol{q,\dot q,}t)dt+S_0(\boldsymbol {q_0}) \end{equation> Donde $\alpha$ es cualquier constante de la acción, por ejemplo, las condiciones de momento iniciales $\alpha _i =p_i(t_0)$. Esto sugiere que la acción de HJ es la acción Lagrangiana + algún otro término, algo así como un problema de valores iniciales avanzando la acción paso a paso.

En primer lugar, ¿es cierto lo anterior? En segundo lugar, en caso afirmativo, ¿cómo es que la mecánica hamiltoniana se puede considerar un problema de valores iniciales pero la lagrangiana no?

Answer 1

Al menos tres cantidades diferentes en física son comúnmente llamadas una acción y se denotan con la letra $S$:

1. La funcional de acción fuera de la red $S[q;t_i,t_f],$

2. La función de acción en la red (de Dirichlet) $S(q_f,t_f;q_i,t_i),$ y

3. La función principal de Hamilton$^1$ $S(q,\alpha, t).$

Para sus definiciones y cómo están relacionadas, ver por ejemplo mi respuesta en Phys.SE aquí.

1. Por un lado, la función de acción en la red (2) y la función principal de Hamilton (3) están estrechamente relacionadas, cf. este post de Phys.SE. Soluciones explícitas para (2) y (3) solo se conocen en casos suficientemente simples.

2. Por otro lado, la funcional de acción fuera de la red (1) es la que se utiliza en el principio de la acción estacionaria con condiciones de contorno adecuadas impuestas. Las otras dos (2) y (3) no pueden ser utilizadas en un principio variacional.

Para una discusión de problemas de valores de contorno vs. problemas de valores iniciales, ver por ejemplo este post de Phys.SE.

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$^1$ Siguiendo por ejemplo a H. Goldstein, CM, la función principal de Hamilton (3) es una función generadora de tipo 2 de transformaciones canónicas. Las constantes de integración $\alpha_i$ se identifican con los nuevos momentos $P_i$.