Resolviendo una EDO: $dX=-Xdt+e^{-t}dW$

Question

Tengo el siguiente problema que viene con la solución, pero no puedo obtenerla... Cualquier ayuda sería muy apreciada - ¡me estoy preparando para los finales :( Gracias!

La EDO que necesito resolver es $dX=-Xdt+e^{-t}dW$. La solución es $X(t)=(X_0+W(t))e^{-t}$

He notado que $$dW=e^{t}dX+e^{t}Xdt=d(e^tX)$$

Así que he intentado con $Z=e^tX$ y obtengo $dZ=2e^t(dX+X)$, pero ahora estoy atascado :/ (y no estoy seguro si ese $dZ$ es correcto porque no nos muestran cómo llegó el profesor al resultado final).

Answer 1

Creo que no estabas del todo correcto en el cálculo de $dZ$. Sin embargo, ibas por el camino correcto.

$$dZ=e^t X dt+e^t dX+e^t dt dX$$ $$dZ=e^t Xdt+e^t(-Xdt+e^{-t}dW)+0$$ $$dZ=(e^tX-e^tX)dt+dW$$ $$dZ=dW$$ $$Z=X_0+W(t)$$ $$X(t)=(X_0+W(t))e^{-t}$$