Demuestra que las formas cuadráticas binarias $5x^2+xy+y^2$ y $x^2-xy+5y^2$ son equivalentes

Question

Necesito mostrar que las formas cuadráticas binarias $$5x^2+xy+y^2$$ y $$x^2-xy+5y^2$$ son equivalentes. Hemos tocado solo las formas cuadráticas, y la única definición que tengo para "equivalencia" es que una se puede transformar en la otra a través de una sustitución:

$$x = px' +qy', \hspace{15mm}y=rx'+sy'$$

con $ps-qr=1$. ¿Cómo puedo encontrar tal sustitución? ¿O hay alguna manera de hacerlo sin tener que encontrar la sustitución en sí?

Gracias por cualquier información sobre esto. Esto está más allá de lo que puedo retener en mi cabeza

Answer 1

Por supuesto. Toma la matriz "Hessiana" de la primera forma como $$ H = \left( \begin{array}{cc} 10 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) $$ Ahora toma la matriz $P \in SL_2 \mathbb Z$ dada por $$ P = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$ y calcula $$ P^T H P $$