Subespacio más pequeño de V

Question

En el libro 'Álgebra Lineal' por Hoffman, se nota lo siguiente

De Teorema 2 se deduce que si $S$ es cualquier colección de vectores en $V$, entonces hay un subespacio más pequeño de $V$ que contiene $S$, es decir, un subespacio que contiene $S$ y que está contenido en todos los demás subespacios que contienen $S$.

¿No es ese subespacio más pequeño simplemente $S$?

Answer 1

El comentario de Thomas Bladt es absolutamente correcto, estoy escribiendo un ejemplo para que tal vez puedas entender mejor la situación. Como espacio vectorial estoy considerando $V=\mathbb{R}^4$ (con la suma y estructura escalar usuales). Sea $S=\lbrace v_1, v_2, v_3\rbrace$ donde $$v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0 \end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}.$$ Ahora puedes ver que $S$ es simplemente una colección de vectores, en este caso finitos. $S$ absolutamente no es un subespacio de $V$ ya que, por ejemplo, $v_2+v_3$ o $44\cdot v_1$ no están en $S$.

La oración que escribiste anteriormente afirma que hay un subespacio más pequeño $W$ de $V$ que contiene a $S$. ¿Cuál es $W$ en este ejemplo? Como ejercicio, puedes verificar que $W=\text{span}(v_1, v_2, v_3)=\text{span}(v_1, v_2)=\mathbb{R}^2\times\lbrace 0\rbrace^2$ y también que $W$ es el subespacio más pequeño que contiene a $S$. Concretamente, esto significa que debes verificar que si $W'$ es cualquier subespacio que contiene a $S$, entonces $W\leq W'$.