Problema de la Regla de Suma de Probabilidad Condicional

Question

De Blitzstein, Introducción a la Probabilidad (2019 2ª edición), Capítulo 2, Ejercicio 25, p. 87.

25. Se comete un crimen por uno de dos sospechosos, A y B. Inicialmente, hay evidencia igual contra ambos. En una investigación adicional en la escena del crimen, se descubre que la parte culpable tenía un tipo de sangre encontrado en el 10% de la población. El sospechoso A sí coincide con este tipo de sangre, mientras que el tipo de sangre del sospechoso B es desconocido.

(a) Dada esta nueva información, ¿cuál es la probabilidad de que A sea el culpable?

Así que aquí está mi enfoque. Dejemos que A represente "A culpable", M para "A coincidente con el tipo de sangre" y N para "B coincidente con el tipo de sangre". Entonces $$P(A|M) = P(A|M,N)P(N|M) + P(A|M,N^{C})P(N^{C}|M)$$ $$P(A|M) = \frac{1}{2}\frac{1}{10} + 1\frac{9}{10} = \frac{19}{20}$$ Aquí se infiere que el tipo de sangre de B es independiente del de A y que si ambos tienen el mismo tipo de sangre, es igualmente probable que sean culpables.

¿Dónde está la falla en la aplicación de la regla de la suma anterior? La respuesta correcta es $\frac{10}{11}$.

Answer 1

Deje que el tipo de sangre encontrado en la escena del crimen sea X.

Probabilidad de que A sea culpable antes de la nueva evidencia $P(A)=1-P(B)=0.5$

Probabilidad de que se encuentre el tipo de sangre X dado que A es culpable $=$ Probabilidad de que A tenga el tipo de sangre $P(X|A)=1$

Probabilidad de que se encuentre el tipo de sangre X dado que B es culpable $=$ Probabilidad de que B tenga el tipo de sangre $P(X|B)=0.1$

Ahora se sabe que el tipo de sangre es X, y dado que exactamente uno de A o B es culpable,

$$P(A|X) = \frac{P(X|A)P(A)}{P(X)} = \frac{P(X|A)P(A)}{P(X|A)P(A)+P(X|B)P(B)} = \frac{10}{11}$$

Answer 2

¡Cometí el mismo error! Creo que el error está en la suposición de que la probabilidad de que B tenga el tipo de sangre X es del 10%. B ya está bajo sospecha por el crimen; antes de descubrir que el culpable tiene el tipo de sangre X, había un 50% de probabilidad de que B fuera culpable. Por lo tanto, las posibilidades de que B tenga el tipo de sangre X son mayores que el 10%, ya que, según entiendo, la probabilidad de que B tenga el tipo de sangre culpable no es independiente de que esté bajo sospecha.

Según la Regla de Bayes, la probabilidad de que B tenga el tipo de sangre X = $\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}+\frac{9}{10}*\frac{1}{2}} = \frac{2}{11}$. Al reemplazar eso en tu ecuación, tenemos que la probabilidad de culpabilidad de A = $\frac{2}{11}*\frac{1}{2} + \frac{9}{11} = \frac{10}{11}$. Por lo tanto, tu lógica en sí estaba bien, pero implicaba una estimación incorrecta de las posibilidades de que B tenga el tipo de sangre culpable.

Answer 3

Usando el teorema de Bayes: $$ \Pr(A\mid M) = \frac{\Pr(M|A) \Pr(A)}{\Pr(M\mid A) \Pr(A) + \Pr(M \mid B) \Pr(B)} $$ y $\Pr(A) = \Pr(B) = \tfrac{1}{2}$ ya que ambos tienen evidencia igual en su contra, $\Pr(M\mid A) = 1$ ya que el acierto es seguro si $A$ es realmente culpable, y $\Pr(M \mid B) = \Pr(M) = \tfrac{1}{10}$ ya que el acierto de $A$ no depende de la culpabilidad de $B$, obtienes $\Pr(A \mid M) = \tfrac{10}{11}$.

Answer 4

La formulación más conveniente de la regla de Bayes es en cuanto a probabilidades: Od = Ob* BF (leído como: probabilidades después de la adquisición de datos = probabilidades básicas (antes de los datos) multiplicadas por el factor de Bayes).

Ob = 1/1 (1 a 1); BF = P(X/A es culpable) / P (X/A no culpable) Sustituyendo: Od = 1*[1/0.1] = 10/1 A partir de estas probabilidades posteriores (después de la adquisición de datos) se obtiene P (A es culpable) mediante la fórmula simple: P = O/(O+1) = 10/11; Convertir Probabilidades en Probabilidades (Y viceversa) se basa en la definición de O = P/(1-P) y en el reordenamiento algebraico