Mostrar que la función $u(x)=1 \in W^{m,\ 2}(\Omega)$, pero no en $W_0^{m,\ 2}(\Omega)$

Question

Tengo un problema:

Para $\Omega$ sea un dominio en $\Bbb R^n$. Muestra que la función $u(x)=1 \in W^{m,\ 2}(\Omega)$, pero no en $W_0^{m,\ 2}(\Omega)$, para todo $m \ge 1$.

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¡Cualquier ayuda será apreciada! ¡Gracias!

Answer 1

Primero me gustaría responder al primer comentario: Es solo si consideramos todo $\mathbb{R}^n$ que estos dos espacios coinciden, no en absoluto para un dominio acotado.

Para el problema: Lo haré en $\mathbb{R}$ y $m=1$ y $\Omega=(0,1)$ (fácil de adaptar). Para demostrar que $u$ pertenece a $W^{m,2}(\Omega)$ solo necesitas mostrar que la fórmula de integración por partes (contra una función en $\mathcal{C}^\infty_c(\Omega)$). O simplemente darse cuenta de que $u\in \mathcal{C}^{\infty}(\Omega)$, por lo tanto, las derivadas clásicas (y luego las débiles) existen y son $0$.

Ahora $W^{m,2}_0(\Omega)$ es, por definición, el cierre de $\mathcal{C}^\infty_c(\Omega)$ con respecto a la norma de $W^{m,2}(\Omega)$: $$\|\phi\|_{W^{1,2}(\Omega)}=\int|\phi|^2+\int|\phi^{\prime}|^2.$$

Asumamos que $u$ pertenece a $W^{m,2}_0(\Omega)$, entonces existe una secuencia $\phi_n$ en $\mathcal{C}^\infty_c(\Omega)$ tal que. $\|\phi_n-u\|_{W^{2,1}(\Omega)}\rightarrow 0$ lo cual, por definición, implica lo siguiente $$\int|\phi_n-1|^2\rightarrow 0\\ \int|\phi_n^{\prime}|^2\rightarrow 0\\ \phi_n(0)=\phi_n(1)=0$$ y la integración por partes de la cantidad $\int(\phi_n-1)$ conduce fácilmente a una contradicción. En general, la única función constante que pertenece a este espacio es $0$.

Hablando en términos generales, las funciones en $W^{m,2}_0(\Omega)$ (con derivadas débiles apropiadas) se anulan en cierto sentido en el límite (rigurosamente en el sentido de traza), y esto no es el caso para $u=1$.

Nota: si ya estás familiarizado con la traza en el límite de las funciones en los espacios de Sobolev, es obvio: $W^{m,p}_0(\Omega)$ son las funciones de $W^{m,p}(\Omega)$ para las cuales la traza en el límite es 0. Pero dado que $u$ es continua, la traza de $u$ en $\partial\Omega$ es solo $u_{|_{\partial\Omega}}=1\neq 0$ y se acabó.

Answer 2

PISTA: cualquier función suave $u_n$ con soporte compacto que aproxime bien a $1$ estará cerca de $1$ en la mayor parte de $\Omega$ y cerca de $0$ en otros lugares. Esto implica que siempre habrá una región donde la función aproximante tiene un gran gradiente. Intenta derivar una contradicción mostrando que la norma de $1 - u_n$ se mantiene acotada lejos de $0$ gracias a la contribución de la parte del gradiente de la norma.