"En" y "out" en estados en la teoría de dispersión

Question

En la teoría de dispersión, el Hamiltoniano $H$ puede ser escrito como la suma

$H = H_0 + V$

donde $H_0$ es el Hamiltoniano de partículas libres y $V$ contiene la interacción entre partículas. Podemos encontrar $\psi^{in}_{\alpha}$, que representan los autoestados del Hamiltoniano "completo", y $\phi_{\alpha}$ como autoestados del Hamiltoniano de partículas libres $H_0$. Si consideramos tiempos muy tempranos ($t \rightarrow -\infty$), se vuelve obvio que

$\psi^{in}_{\alpha} \rightarrow \phi_{\alpha}$

debido al hecho de que $ V \rightarrow 0$.

Mi problema es que no entiendo por qué los estados $\psi^{out}_{\alpha}$ son necesarios en absoluto. Si $\psi^{in}_{\alpha}$ es un autoestado de $H$, ¿por qué debería evolucionar hacia un estado diferente?

Answer 1

Tienes razón, en el sentido de que, si consideras los estados eigen del Hamiltoniano, la evolución temporal del estado simplemente produce un factor de fase sin significado. La verdadera definición de los estados asintóticos comienza a partir de una superposición genérica de estados eigen de energía

$$ \int d\alpha\, g(\alpha) \psi^{\pm}_\alpha $$

donde $\alpha$ es la colección de todos los momentos, espines y otros números cuánticos del estado $\psi$ y $+$ = adentro, $-$ = afuera.

La definición de estado asintótico es entonces que, cuando evolucionas este estado hacia el pasado infinito o hacia el futuro infinito, tu estado se ve como la misma superposición de estados libres.

$$ e^{-i H t}\int d\alpha\, g(\alpha) \psi^{\pm}_\alpha \to e^{-i H_0 t}\int d\alpha \,g(\alpha) \phi_\alpha$$

para $t\to \mp \infty$ respectivamente.

Con esta definición, la evolución temporal de los estados que estás considerando es en general no trivial.

Answer 2

El estado inicial es un estado asintótico. Sea $\psi$ el autoestado energético del hamiltoniano completo $H \psi = E \psi$ alrededor de $t=0$. Su energía $E$ se conserva durante el proceso de dispersión.

El estado inicial (en el libro de Weinberg, y en el de Peskin y Schroeder) es el estado $\psi$ en el límite de infinito pasado $$ \psi_{\rm in} \equiv \lim_{t \to -\infty} e^{-iHt} \psi.$$

Aunque sale de la influencia del potencial $V$, si $V$ se vuelve débil lo suficientemente rápido, no puede ser completamente un estado libre. Por el contrario, un estado libre es, por definición, el autoestado del hamiltoniano libre, por ejemplo, una onda plana, por lo tanto nunca interactúa.

Sin embargo, es útil si introducimos un estado realmente libre que tenga el mismo valor propio de energía $H_0 \phi = E \phi$, porque hacemos la perturbación usando esto. Es decir, encontramos la solución de la ecuación de Schrödinger interactuante expandida en términos de esos $\phi$'s. La dispersión, en el campo de la entrada $\psi_{\rm in}$ se vuelve arbitrariamente cercana a este campo libre $\phi$, como la función convergente en el análisis. (En otros libros de texto como el reconocido J. R. Taylor, el campo libre $\phi$ en sí se llama el estado de entrada.)

De igual modo, el campo de salida es el campo de dispersión $\psi$ en el límite $t \to +\infty$. Si conocemos la evolución temporal del campo que conecta $\psi_{\rm in}$ con $\psi_{\rm out}$, entendemos el problema de dispersión. Está codificado en la matriz $S$, el producto interno de los estados de entrada y salida.