Si no, ¿por qué no? ¿Se puede demostrar? Y si se puede demostrar que es igual a un cuadrado (lo cual dudo), ¿cuál es el valor más pequeño para que esto ocurra?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tom Desp
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145
Kumar Ayush
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745
\begin{align} 1^2 &\equiv 1\pmod 7 \\ 2^2 &\equiv 4\pmod 7 \\ 3^2 &\equiv 2\pmod 7 \\ 4^2 &\equiv 2\pmod 7 \\ 5^2 &\equiv 4\pmod 7 \\ 6^2 &\equiv 1\pmod 7 \\ 7^2 &\equiv 0\pmod 7 \\ 8^2 &\equiv 1\pmod 7 \\ 9^2 &\equiv 4\pmod 7 \\ 10^2 &\equiv 2\pmod 7 \\ 11^2 &\equiv 2\pmod7\\ 12^2 &\equiv 4\pmod7 \\ & \space\space\space\space\space\space\space\vdots \end{align}
Se repite, por lo que un cuadrado perfecto solo puede ser 0, 1, 2, 4 módulo 7
$7n+13 \equiv 6 \mod 7$ lo cual claramente no es un cuadrado perfecto.
Nenad Dobrilovic
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La respuesta de Prathyush Poduval es completamente correcta, pero lo siguiente quizás se adentre un poco más.
Pueden haber a lo sumo $3$ residuos cuadráticos no nulos $\pmod 7$. Para ver esto, note que si $k$ es cualquier entero no negativo y $n$ es cualquiera de los $6$ enteros tales que $0
$$(7k+n)^2 \equiv 7(7k^2+2kn)+n^2 \equiv n^2 \equiv m \pmod 7$$
$$(7-n)^2 \equiv 7(7-2n)+n^2 \equiv n^2 \equiv m \pmod 7$$
Por lo tanto, el número de residuos cuadráticos no nulos es a lo sumo $6/2 = 3$. Para encontrar todos los residuos cuadráticos no nulos, es necesario considerar solamente:
$$1^2 \equiv 1 \pmod 7$$ $$2^2 \equiv 4 \pmod 7$$ $$3^2 \equiv 2 \pmod 7$$
