Significado físico de las condiciones límite en la variación local de la acción

Question

En el procedimiento para obtener la ecuación de Euler Lagrange del movimiento, como consecuencia de la variación local de la acción obtengo el término (ver imagen). Para eliminarlo, debo suponer el comportamiento radial asintótico para el cual $u$ tiende a cero. Me preguntaba qué significado físico podría tener?

Answer 1

En general, la desaparición del término de frontera es lo que le da a la mecánica lagrangiana su carácter realmente peculiar en cuanto a cómo predice las cosas.

La mecánica newtoniana y la mecánica hamiltoniana están listas para empezar, "vamos, dame las fuerzas y las condiciones iniciales y moveré la partícula un poco hacia adelante, y luego un poco más desde allí, y un poco más desde allí, y ¡tendremos cosas dinámicas reales sucediendo aquí!"

Si estás acostumbrado a eso, entonces sigues las conferencias de Nueva Zelanda de Feynman y te llevarás una sorpresa: "Vamos a calcular la probabilidad de que detectemos algo por aquí, dado que se emite desde aquí." Y si tienes realmente mala suerte (y lamentablemente es típico) te encontrarás con la mecánica lagrangiana incluso antes de la QED, "Vamos a calcular la trayectoria que tomó la partícula cuando terminó por aquí, dado que venía de allá." Al menos las probabilidades tenían una buena interpretación, "quizás no termine por allá y puedo recuperar algo parecido a una idea clásica de dónde va", mientras que el enfoque lagrangiano dice, "puedo hacer que esta partícula aparezca en cualquier lugar, solo déjame cocinar las condiciones iniciales a mí."

Y el origen último de esta rareza es la necesaria desaparición de estos términos de frontera, $\left[f(x, \dot x, \dots) ~\delta x(t)\right]_{t_0}^{t_1} = 0.$ Obliga a que $\delta x(t_0) = \delta x(t_1) = 0$ lo que significa que la trayectoria no está siendo perturbada en su frontera, sino solo en su cuerpo principal: por lo tanto, en el enfoque lagrangiano debemos tratar el punto de inicio y de final como fijos y luego idear las trayectorias apropiadas en el medio.