Declaración del problema: En el Último Teorema de Fermat $$x^n + y^n = z^n$$ $x, y, z$ se consideran números enteros. Pero al examinar más de cerca, se ve que también es cierto para cualquier número racional $x, y, z$. Y que el FLT no es aplicable solo cuando $x, y, z$ son irracionales.
Consulta: ¿Por qué siempre y solo se menciona que el teorema de Fermat es verdadero cuando $x, y, z$ son números enteros y no números racionales? ¿Es correcta mi percepción? ¿Se puede demostrar o refutar esto?
El último teorema de Fermat es que no existen soluciones para $x^n + y^n = z^n$ para $x, y, z$ enteros positivos y $n \geq 3$.
Establezcamos $\displaystyle a:=\frac xz,\ b:=\frac yz\ $ entonces una formulación equivalente es que $a^n + b^n = 1$ no admite soluciones racionales no triviales (es decir, distintas de $(1,0),\;(0,1),\;(-1,0),\;(0,-1)$).
Como señala MTurgeon, los dos problemas son equivalentes.
Más exactamente, para algunos $n$, la ecuación $x^n+y^n=z^n$ tiene soluciones enteras no triviales si y solo si $x^n+y^n=z^n$ tiene soluciones racionales no triviales.
De todos modos, muchas de las técnicas utilizadas para intentar una demostración, tanto en general como en los casos particulares, funcionan para la versión entera. Por ejemplo, el caso $n=3$ se basa en el hecho de que $\mathbb{Z}(\omega)$ es un DIP, y el caso $n=4$ se basa en el hecho de que se llega a una contradicción construyendo una solución positiva más pequeña.
Dado que los dos problemas son equivalentes, y en el estudio la versión entera es más fácil de abordar, típicamente se presenta como una ecuación sobre los enteros.
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