En el lado derecho de la expresión anterior, ¿por qué podríamos mover la condición ' |X ' al numerador sin hacer ningún otro cambio?
Respuestas
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Dilip Sarwate
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Si se conoce el valor de $X$, $X_i-\bar{X}$ y $(X_i-\bar{X})^2$ son cantidades conocidas, por lo que las únicas variables aleatorias desconocidas son los $U_i$. En términos más simples, recuerda que $E[Y\mid X]$ es una función de $X$, no de $Y$ como podría pensarse, y que $E[f(X)Y\mid X]$ es igual a $f(X)E[Y\mid X]$, que también es una función de $X$ y no de $Y$.
Lev
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La notación $\mathbb E[\cdot|X]$ es simplemente una notación para la expectativa condicional que asocia a una variable aleatoria $Z$ la variable aleatoria $\mathbb E[Z|X]$ como la función más cercana de $X$, en el sentido de la solución de mínimos cuadrados $$f^* = \arg \min_f \mathbb E[(Z-f(X))^2]$$ es decir, $f^*(X)=\mathbb E[Z|X]$. La notación $|X$ por lo tanto no tiene un significado por sí sola y no puede ser "movida" alrededor del argumento de la expectativa. En otras palabras, $Y|X$ no existe.
