En mi curso de análisis real, hemos abordado la teoría de la integración (según Riemann) desde una perspectiva abstracta, que se podría resumir de la siguiente manera:
- Defina un espacio de medida elemental $(A, \mathcal E, m)$ que consiste en un conjunto $A$, una familia de subconjuntos de $A$ que tiene la estructura algebraica de un semianillo, y una medida finitamente aditiva $m : \mathcal E \to [0, +\infty)$;
- Defina $s : A \to \mathbb R$ como una función escalonada sobre $A$ cuando hay una partición finita $\{E_1, \dots, E_p\} \subset \mathcal E$ de $A$ tal que, para algunos $c_k \in \mathbb R$, tenemos $$s(x) = \begin{cases} c_k & x\in E_k,\ k\in\{1,\dots,p\} \\ 0 & x\notin A \end{cases} $$ y su integral sea $$\int_A s(x) dm = \sum_{k=1}^p c_k m(E_k) $$
- Dada una función $f : A \to \mathbb R$, defina $\mathcal I_\pm(f)$ de la siguiente manera: $r_\pm \in \mathcal I_\pm(f)$ si existen $s_\pm$ tales que $\forall x \in A$ tenemos $s_-(x) \leq f(x) \leq s_+(x)$ y $\int_A s_\pm(x) dm = r_\pm$;
- Entonces la integral de $f$ sería $$\int_A f(x) dm = \inf \mathcal I_+(f) = \sup \mathcal I_-(f) $$ siempre que $\mathcal I_\pm(f) \neq \varnothing$, los dos límites existen y son iguales.
Mi pregunta se refiere a las razones para elegir la estructura algebraica específica de un semianillo para la familia de subconjuntos de $A$ desde el principio.
¿Sería posible construir una teoría alternativa (¿similar?) de integración basada en otras estructuras algebraicas (más simples o más complejas), por ejemplo, grupos de conjuntos, campos de conjuntos...?
Y una pregunta más general:
¿Cómo depende la organización general de la teoría de integrales de la elección de la estructura algebraica al principio? ¿Cómo cambian los resultados fundamentales (por ejemplo, FTC)?
EDICIÓN: Actualización sobre la denominación de los semianillos de medidas. Considere el resultado a continuación y los comentarios subsiguientes (¡traducidos de mi libro de texto!):
Proposición. Sea A un conjunto no vacío y $\mathcal E$ un semianillo de subconjuntos de A. Además, sean $E_1, \dots, E_p \in \mathcal E$. Entonces es posible representar la unión de la familia $\{E_1, \dots, E_p\}$ como la unión de una familia de elementos mutuamente disjuntos de $\mathcal E$. En segundo lugar, dado otra familia finita de elementos de $\mathcal E$, $\{E_1', \dots, E_q'\}$, entonces es posible representar la diferencia $$\left(\bigcup_{k=1}^p E_k\right)\setminus\left(\bigcup_{j=1}^qE_j'\right) $$ como la unión de una familia finita de elementos mutuamente disjuntos de $\mathcal E$.
Comentario. El resultado anterior nos permite explicar el origen del nombre semianillo de subconjuntos. Sea $\mathcal E$ un semianillo de subconjuntos de $A$. Considere la familia $\mathcal R$ de todos los subconjuntos de A que pueden representarse como uniones finitas de elementos mutuamente disjuntos de $\mathcal E$. Entonces, debido a la Proposición, vemos que si dos conjuntos están en $\mathcal R$, su unión, intersección y diferencia también pertenecen a $\mathcal R$. En particular, tiene sentido considerar las dos aplicaciones de $\mathcal R \times \mathcal R$ a $\mathcal R$ que asignan cada par $(X, Y) \in \mathcal R \times \mathcal R$, respectivamente, a $(X\setminus Y) \cup (Y\setminus X)$ e $X\cap Y$. Estas son, por lo tanto, operaciones en $\mathcal R$ y se puede mostrar que, si se adoptan como operaciones aditiva y multiplicativa, $\mathcal R$ se convierte en un anillo en el sentido del álgebra abstracta, de ahí el nombre semianillo para la familia $\mathcal E$ con la que comenzamos. Más precisamente, si transferimos la suma y el producto del anillo $\mathbb Z_2$ al conjunto $\mathcal R'$ de todas las funciones $A \to \mathbb Z_2$, entonces $\mathcal R'$ se convierte en un anillo y el anillo $\mathcal R$ que habíamos construido es isomorfo a un subanillo de $\mathcal R'$, siendo el isomorfismo el siguiente: a cada $X \in \mathcal R$ le asociamos la función de $\mathcal R'$ que evalúa como $1$ en $X$ y como $0$ en $A\setminus X.
