¿Es todo endomorfismo de un espacio vectorial una combinación lineal de idempotentes?

Question

¿Es todo endomorfismo de un $K$ -espacio vectorial a $K$ -¿combinación lineal de idempotentes?

Esta pregunta fue formulada por Jonas Meyer en un comentario a esta pregunta .

Para asegurarme de no ganar puntos gracias a una pregunta planteada por otra persona, pondré una recompensa de 500 puntos en esta pregunta (pero creo que debo esperar dos días).

George Lowther me dijo en un comentario a esta respuesta que tenía una respuesta positiva a la pregunta de Jonas. Consideré la posibilidad de sugerir a George que publicara su respuesta a la pregunta de Jonas como respuesta a esta pregunta pero pensé que la pregunta de Jonas merecía ser formulada por separado.

Answer 1

Para un espacio de dimensión finita, es sencillo expresar cualquier endomorfismo como una combinación lineal de idempotentes. Para un espacio de dimensión infinita, podemos utilizar el hecho de que $V$ es isomorfo a $V\oplus V$ . Esto se deduce del hecho de que los espacios vectoriales están determinados hasta el isomorfismo por su dimensión, y que $\kappa+\kappa=\kappa$ para cualquier cardinal infinito $\kappa$ . Así que, $$ \mathrm{dim}(V\oplus V)=\mathrm{dim}(V)+\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(V). $$ Entonces, el álgebra, $\mathrm{End}(V)$ de endomorfismos de $V$ es isomorfo a los endomorfismos de $V\oplus V$ que puede identificarse con el $2\times2$ matrices sobre $\mathrm{End}(V)$ , $$ \mathrm{End}(V)\cong\mathrm{End}(V\oplus V)\cong\mathrm{M}_2(\mathrm{End}(V)). $$ En primer lugar, las matrices sin trazas pueden expresarse directamente como una combinación lineal de idempotentes.

(I) Cualquier matriz $\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$ en $\mathrm{M}_2(\mathrm{End}(V))$ con $a+d=0$ es una combinación lineal de idempotentes.

Prueba: Como, $d=-a$ tenemos $$ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a&a\\1-a&1-a\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}1&a-b\\0&0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}1&0\\c+a&0\end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix}0&0\\1&1\end{matrix}\right), $$ y cada una de las matrices de los derechos son idempotentes. QED

Queda por demostrar que las matrices diagonales de la forma $(a,0;0,0)$ son combinaciones lineales de idempotentes. Para ello, me fijaré en la suma directa infinita $V^\omega=V\oplus V\oplus V\oplus\cdots$ . Esto se puede identificar con las secuencias infinitas $v=(v_0,v_1,v_2,\ldots)$ para $v_k\in V$ con todos menos un número finito de $v_k$ igual a $0$ bajo adición de componentes y multiplicación escalar. Dada una secuencia cualquiera $a_0,a_1,a_2,\ldots$ en $\mathrm{End}(V)$ utilizamos $a_0\oplus a_1\oplus a_2\oplus\cdots$ para representar el operador lineal en $V^\omega$ tomando $v$ a $(a_0v_0,a_1v_1,\ldots)$ .

(II) Para cualquier $a\in\mathrm{End}(V)$ el operador $a\oplus 0\oplus 0\oplus\cdots$ es una combinación lineal de idempotentes en $\mathrm{End}(V^\omega)$ .

Prueba: Este es un Estafa de Eilenberg-Mazur . El operador $a\oplus(-a)$ en $V\oplus V$ está representada por la matriz sin trazos $(a,0;0,-a)$ por lo que, por (I), es una combinación lineal de idempotentes en $\mathrm{End}(V\oplus V)$ . Agrupación de los factores de $V$ en la definición de $V^\omega$ en parejas, $$ V^\omega\cong(V\oplus V)\oplus(V\oplus V)\oplus(V\oplus V)\oplus\cdots $$ y aplicando la descomposición de $a\oplus(-a)$ en idempotentes a cada factor $V\oplus V$ muestra que $$ L\equiv a\oplus(-a)\oplus a\oplus(-a)\oplus a\oplus(-a)\oplus\cdots $$ se descompone en una combinación lineal de idempotentes en $\mathrm{End}(V^\omega)$ . Del mismo modo, la agrupación de los factores de $V^\omega$ como $$ V^\omega\cong V\oplus(V\oplus V)\oplus(V\oplus V)\oplus\cdots, $$ podemos aplicar la descomposición de $a\oplus(-a)$ en idempotentes a cada factor de $V\oplus V$ y el mapa cero al primer factor $V$ para demostrar que $$ M\equiv0\oplus a\oplus(-a)\oplus a\oplus(-a)\oplus a\oplus(-a)\oplus\cdots $$ es una combinación lineal de idempotentes. Entonces, $L+M=a\oplus0\oplus0\oplus\cdots$ es una combinación lineal de idempotentes. QED

(III) Para cualquier $a\in\mathrm{End}(V)$ la matriz $\left(\begin{matrix}a&0\\0&0\end{matrix}\right)$ es una combinación lineal de idempotentes.

Prueba: En primer lugar, utilizando el hecho de que $\aleph_0\times\kappa=\kappa$ para cualquier cardinal infinito $\kappa$ tenemos $$ \mathrm{dim}(V^\omega)=\aleph_0\times\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(V), $$ así que $V\cong V^\omega$ . Identificar el segundo factor de $V$ con $V^\omega$ en $V\oplus V$ da la secuencia de isomorfismos $$ \begin{align} V\oplus V&\cong V\oplus V^\omega= V\oplus(V\oplus V\oplus V\oplus\cdots)\\ &\cong V\oplus V\oplus V\oplus\cdots=V^\omega. \end{align} $$ En este mapa, el operador $a\oplus 0$ representado por la matriz $(a,0;0,0)$ se lleva a $a\oplus0\oplus0\oplus\cdots$ que es una combinación lineal de idempotentes por (II). QED

Juntando todo esto se obtiene,

(IV) Todo endomorfismo de $V$ es una combinación lineal de idempotentes.

Prueba: Como en el caso anterior, utilizando el hecho de que $\mathrm{End}(V)\cong \mathrm{M}_2(\mathrm{End}(V))$ necesitamos demostrar que cualquier $2\times2$ matriz de endomorfismos de $V$ es una combinación lineal de idempotentes. Escribiendo $$ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-d&b\\c&d\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}a+d&0\\0&0\end{matrix}\right), $$ el primer término en el lado derecho es una combinación lineal de idempotentes por (I) y, de manera similar para el segundo término usando (III). QED

Answer 2

He aquí un corolario de la respuesta de George:

(a) Si $V$ es una dimensión infinita $K$ -entonces el conjunto de subespacios vectoriales de $V$ tiene cardenal $\operatorname{card}(K)^{\dim(V)}$ .

Prueba. Sea $\mathcal S$ sea el conjunto en cuestión, y sea $\mathcal E$ y $\mathcal I$ sean respectivamente el conjunto de endomorfismos y de endomorfismos idempotentes de $V$ . Tenemos $$ \operatorname{card}(\mathcal E)=\operatorname{card}(K)^{\dim(V)}. $$ George demostró que cualquier endomorfismo es un $\mathbb Z$ -combinación lineal de idempotentes. Esto implica $$ \operatorname{card}(\mathcal E)=\aleph_0\operatorname{card}(\mathcal I). $$ Las dos pantallas anteriores implican $$ \operatorname{card}(\mathcal I)=\operatorname{card}(K)^{\dim(V)}. $$ El mapa $$ \mathcal I\to\mathcal S,\quad e\mapsto\operatorname{Im}(e) $$ siendo suryente, y el mapa $$ \mathcal I\to\mathcal S\times\mathcal S,\quad e\mapsto(\operatorname{Im}(e),\operatorname{Ker}(e)) $$ siendo inyectiva, $\mathcal I$ y $\mathcal S$ son equipotentes, y la prueba está completa.

Tenga en cuenta que George respuesta anterior ya era suficiente para el argumento anterior.

Preguntas:

(b) ¿Existe una prueba más sencilla de (a)?

(c) ¿Se registró previamente la declaración (a)? ¿Dónde?

Muchas gracias de antemano, querido lector, si puedes decirme cuáles son las respuestas a estas preguntas.