Efecto de la resistencia en el tiempo de vuelo del proyectil - ¿solución simple?

Question

Vi una pregunta como esta en un examen de física de nivel AS (compuesto por 40 preguntas para ~17 años de edad, con un límite de tiempo de 75 minutos):

Dos pelotas idénticas, x e y, son lanzadas hacia arriba desde la superficie terrestre con la misma velocidad. x es lanzada al aire y y está en el vacío. ¿Cuál pelota alcanza una altura máxima más alta y cuál pelota llegará primero al suelo?

Es inmediatamente evidente que la resistencia hace que x alcance el pico (más bajo) más rápido, y en general, pensarías que un descenso más corto llevaría menos tiempo. Pero la resistencia también hará que la aceleración de x sea más lenta que la de y durante sus descensos.

¿Cómo podrías demostrar (rápidamente, y con el conocimiento de un adolescente de 17 años,) que la resistencia causa un aumento neto en el tiempo?

Answer 1

No creo que esto se pueda probar fácilmente - creo que depende de la viscosidad del aire y la velocidad con la que se dispara el proyectil.

Bajo circunstancias normales, estoy seguro de que el factor principal es que la resistencia del aire quita energía del sistema temprano cuando la pelota se mueve rápido, y esto hace que caiga antes. Imagina golpear un volante de bádminton con un palo de golf - no va a permanecer en el aire durante tanto tiempo como una pelota de golf podría, incluso si tienen la misma masa y velocidad inicial.

Pero considera disparar una bala hacia arriba en un recipiente de treacle. Simplemente se quedará atascada en el medio del jarabe y solo volverá a bajar muy lentamente, durante horas o días, tardando mucho más que si el treacle no estuviera allí.

Probablemente el treacle difiere del aire no solo en el coeficiente de arrastre sino también en la ley de escala sobre cómo depende la fuerza de arrastre de la velocidad, por lo que puede que no sea una comparación justa. Pero aún así, estaría dispuesto a apostar que incluso si usas la misma ecuación y solo cambias el coeficiente de arrastre, encontrarás que qué pelota aterriza primero depende de los parámetros. Si es así, entonces no habrá una prueba fácil en ninguna dirección.

En otras palabras, a menos que me esté perdiendo algo, es una mala pregunta.

Answer 2

La línea roja gruesa corresponde a la velocidad de la pelota sin resistencia al aire. Su pendiente es $-g$.

Debería quedar claro que con la resistencia al aire, se decelera más rápido. Por lo tanto, terminas con algo como la línea roja delgada. Obviamente, la línea roja delgada alcanza el pico (donde ($v = 0$)) más rápido (para un $t$ más pequeño).

La distancia recorrida es el área bajo la curva. Sin resistencia al aire, el tiempo que se tarda en subir es igual al tiempo que se tarda en bajar. Por lo tanto, debería tomarle a la línea negra delgada regresar al suelo.

Con resistencia al aire, necesitamos que la zona azul tenga la misma área que la zona verde (donde el límite derecho de la zona verde puede extenderse arbitrariamente), y debería ser evidente que esto sucederá mucho antes de que el límite alcance la línea negra delgada. Se podría imaginar que la resistencia al aire es mucho mayor, pero es difícil dibujar una línea roja delgada apropiada de tal manera que la pendiente donde cruza el eje $v=0$ siga siendo aproximadamente $-g$.

Esto no es una prueba rigurosa, por supuesto, solo una intuitiva.

Answer 3

Dos bolas idénticas, x e y, son lanzadas hacia arriba desde la superficie de la Tierra con la misma velocidad. La bola x es lanzada en el aire y la bola y en el vacío. ¿Cuál bola alcanzará una altura máxima más alta y cuál bola golpeará el suelo primero?

¿Cómo podrías demostrar (rápidamente y con el conocimiento de un joven de 17 años) que la resistencia del aire causa un aumento neto en el tiempo?

Puedes utilizar el método gráfico sugerido en una de las otras respuestas, o podrías elegir una forma simple específica para la resistencia del aire (por ejemplo, lineal) y resolver la ecuación: $$ \dot v = -g -\alpha v\;,\tag{1} $$ donde $\alpha$ es una pequeña constante positiva (es decir, $\alpha v/g << 1$), porque asumimos que la fuerza de resistencia del aire es pequeña.

Integrar la Ec. (1) dos veces proporciona una ecuación exacta para la posición como función del tiempo. Si tomamos la posición de "la tierra" (también conocida como "superficie de la Tierra") como $y=0$, y si tomamos el tiempo inicial como $t=0$, esta ecuación se puede resolver para los tiempos en los que $y=0$. Uno de estos tiempos es $t=0$. El otro tiempo en el que $y=0$ generalmente tendría que ser resuelto numéricamente, ya que la ecuación para la posición es trascendental: $$ y(t) = -\frac{gt}{\alpha} - (\alpha v_0 + g)\frac{1}{\alpha^2}\left(e^{-\alpha t} - 1\right)\;. $$

Pero, al expandir en serie de Taylor alrededor de $\alpha=0$, la otra solución puede ser obtenida al orden más bajo en $\alpha$ simplemente utilizando algo de álgebra: $$ t_G = \frac{2 v_0}{g} - \alpha \frac{2v_0^2}{3g^2}+\mathcal{O}(\alpha^2)\; $$ Así, cuando la fuerza de resistencia es pequeña, la bola en el aire golpea el suelo ligeramente antes que la bola en el vacío. (Nota, aunque este resultado fue derivado para resistencia lineal infinitesimal, una de las otras respuestas ha afirmado que cualquier resistencia infinitesimal tipo ley de potencia llevará a que la bola en el aire golpee el suelo ligeramente antes).

Answer 4

No hay una explicación intuitiva simple, ¡porque no es cierto!

Como se explica en este artículo, la respuesta depende del modelo de resistencia del aire. Si la fuerza de arrastre es proporcional a $v^n$, resulta que la trayectoria con resistencia siempre tarda menos tiempo para $n \geq 1$, pero para $n < 1$ depende de la velocidad inicial. (Esto tiene sentido intuitivo, ya que cuando $n$ es alto, la fuerza de arrastre aumenta rápidamente con la velocidad. La velocidad tenderá a ser más alta en la subida que en la bajada, por lo que el efecto de la fuerza de arrastre es más importante en la parte ascendente, donde apunta hacia abajo).

Answer 5

No creo que se pueda probar "que la resistencia aerodinámica cause un aumento neto en el tiempo" sin algunas suposiciones adicionales.

Consideremos el siguiente ejemplo. Elijamos la velocidad inicial de ambas pelotas apenas superando la velocidad de escape. Entonces, la pelota que se mueve en el vacío nunca caerá en la Tierra, a diferencia de la pelota que se mueve en el aire.