Mostrar que $SL_2(F_3)/Z(SL_2(F_3)) \cong A_4$
Sé que $|SL_2(F_3)/Z(SL_2(F_3))|= 12$.
Entonces, si el grupo cociente tiene un subgrupo normal de orden $4$ entonces es isomorfo a $A_4$.
Supongamos que tiene un subgrupo normal de orden $3$ entonces necesitamos encontrar una contradicción.
Supongamos que $V$ es el subgrupo normal de orden $3$ en $SL_2(F_3)/Z(SL_2(F_3))$ entonces $V$ es un subgrupo normal de orden $6$ en $SL_2(F_3)$. Además vemos que $V$ debe ser congruente a $S_3$.
¿Entonces, cómo proceder después de esto? ¿Hay alguna manera de proceder a partir de aquí? Hay otra respuesta en el sitio, aquí, que no me parece intuitiva.
Cualquier ayuda sería apreciada.
