Prueba de desigualdad como parte de la lección de cálculo

Question

Como parte de una lección de cálculo, se me pidió que probara que:

(1) si $\ |x-3| < \frac{1}{2},\ $ entonces $\ \bigg|\displaystyle{\frac{\sin(x^2 -8x+15)}{4x-7}}\bigg| < \frac{1}{2}$

Así, usando $|\sin(t)| \le |t|,$ puedo probar que: $$\bigg|\frac{\sin(x^2 -8x+15)}{4x-7}\bigg| \le \frac{5}{6}|x-3|$$ Después de probar esta desigualdad asumo que el requisito inicial está demostrado, y por lo tanto he terminado, ¿es correcto o me falta algo?

Gracias por tu ayuda :)

Answer 1

En este caso, simplemente note que $\sin x \leqslant 1$ y $|4x-7| > |4\cdot \frac52-7|=3 $ entonces $$\left|\frac{\sin(x^2-8x+15)}{4x-7}\right| < \frac13$$

Answer 2

Porque, $x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5)\ $, puedes empezar diciendo que:

Primero,

$$ \vert{\sin(x^{2}-8x+15)}\vert\leq {x^{2}-8x+15} $$

y luego empiezas así

$$ \bigg\vert\frac{\sin(x^{2}-8x+15)}{4x-7}\bigg\vert=\frac{\vert{\sin(x^{2}-8x+15)}\vert}{\vert{4x-7}\vert}\leq\frac{\vert x^{2}-8x+15\vert}{\vert{4x-7}\vert}=\frac{\vert{(x-3)(x-5)}\vert}{\vert{4x-7}\vert}$$

Supongamos que $\ \displaystyle{\vert{x-3}\vert<\frac{1}{2}}\ $, entonces

$$ -\frac{1}{2}

$$ 3-\frac{1}{2}

$$ \frac{5}{2}

y con la última condición se puede acotar $\displaystyle{\frac{1}{\vert{4x-7}\vert}}$ y $\vert{x-5}\vert$. De hecho,

$$ \frac{5}{2}

esto significa

$$ -\frac{5}{2}

y la función de valor absoluto es decreciente en los números reales negativos:

$$ \frac{3}{2}<\vert{x-5}\vert<\frac{5}{2}, $$

entonces tienes $$ \vert{x-5}\vert<\frac{5}{2}. $$

También,

$$ \frac{5}{2}

por lo que $\vert{4x-7}\vert>3$ y esto implica:

$$ \displaystyle{\frac{1}{\vert{4x-7}\vert}}<\frac{1}{3}. $$

Luego puedes multiplicar ambas desigualdades a continuación:

$$ \vert{x-5}\vert<\frac{5}{2} \qquad \displaystyle{\frac{1}{\vert{4x-7}\vert}}<\frac{1}{3}$$ para obtener: $$ \frac{\vert{x-5}\vert}{\vert{4x-7}\vert}<\frac{5}{6}. $$

Por lo tanto,

$$ \bigg\vert\frac{\sin(x^{2}-8x+15)}{4x-7}\bigg\vert\leq\frac{\vert x^{2}-8x+15\vert}{\vert{4x-7}\vert}=\frac{\vert{(x-3)(x-5)}\vert}{\vert{4x-7}\vert}<\frac{5}{6}\vert{x-3}\vert<\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{12}<\frac{1}{2}.$$

Answer 3

PISTA.- Quieres tener $\dfrac52\lt x\lt \dfrac 72$ y tu función $|f(x)|=\ \bigg|\displaystyle{\frac{\sin(x^2 -8x+15)}{4x-7}}\bigg| < \frac{1}{2}$ es

decreciente en este intervalo desde $|f(\frac 52)|=|0.39952128217|$ hasta $|f(\frac 72)|=|-0.102734043987|$