Buscar todas las primarias impar $p$ para lo cual $15$ es un residuo cuadrático módulo $p$

Question

Quiero encontrar todos los primos Impares $p$ para lo cual $15$ es un residuo cuadrático módulo $p$ .

Mis pensamientos hasta ahora: Quiero encontrar $p$ tal que $\left( \frac{15}{p} \right) = 1$ . Por multiplicatividad del símbolo de Legendre, esto es equivalente a $\left( \frac{5}{p} \right) \left( \frac{3}{p} \right) = 1$ . Utilizando la Ley de Reciprocidad Cuadrática, esto equivale a encontrar $p$ tal que $- \left( \frac{p}{5} \right) \left( \frac{p}{3} \right) = 1$ .

Así que hay dos casos:

1. $\left( \frac{p}{5} \right) = -1, \left( \frac{p}{3} \right) = 1$ .

2. $\left( \frac{p}{5} \right) = 1, \left( \frac{p}{3} \right) = -1$ .

Para el caso (1.), los residuos cuadráticos módulo $5$ son $1$ y $4$ por lo que para $\left( \frac{p}{5} \right ) = -1$ debemos tener que $p$ es $2$ o $3$ modulo $5$ . También debemos tener $p$ es $1$ modulo $3$ de la otra condición. Uno de estos pares es incompatible, y podemos resolver para dar $p$ es $13$ modulo $15$ .

De forma similar para el caso (2.)

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¿Es éste el enfoque correcto? No estoy seguro de si cada paso de mi trabajo es un "si y sólo si". Si $p$ es $13$ modulo $15$ es $15$ necesariamente un residuo cuadrático módulo $p$ ?

Gracias.

Answer 1

Creo que la ley de reciprocidad cuadrática no se ha aplicado del todo. De la reciprocidad cuadrática, $$\left(\frac{15}{p}\right)=\left(\frac{3}{p}\right)\left(\frac{5}{p}\right)=(-1)^{(p-1)/2}\left(\frac{p}{3}\right)\left(\frac{p}{5}\right).$$ Ahora hay dos casos. Si $p\equiv 1\pmod{4}$ , tienes $(15|p)=(p|3)(p|5)$ así que quieres $(p|3)$ y $(p|5)$ tener el mismo signo. Entonces los cuadrados módulo $3$ y $5$ son $p\equiv 1\pmod{3}$ y $p\equiv 1,4\pmod{5}$ y los no cuadrados son $p\equiv 2\pmod{3}$ y $p\equiv 2,3\pmod{5}$ . Utilizando la condición adicional de que $p\equiv 1\pmod{4}$ , basta con comprobar que las únicas posibilidades son $$p\equiv 1,17,49,53\pmod{60}$$ en función de las condiciones que elijas.

El segundo caso es $p\equiv 3\pmod{4}$ y ahora quieres $(p|3)$ y $(p|5)$ tener signos diferentes. De nuevo escribiendo los cuadrados y no cuadrados módulo $3$ y $5$ , tienes $p\equiv 1\pmod{3}$ y $p\equiv 2,3\pmod{5}$ o $p\equiv 2\pmod{3}$ y $p\equiv 1,4\pmod{5}$ . Utilizando ahora la condición de que $p\equiv 3\pmod{4}$ las únicas posibilidades son $$p\equiv 7,11,43,59\pmod{60}.$$

Answer 2

También debes considerar tus primos mod 4, ya que eso altera el comportamiento de la reciprocidad. Así, en el orden en que los encontré, todos los valores son $$1,49; \; 17, 53; \; 11, 59; \; 7, 43 \pmod {60}.$$ En orden numérico ordinario, $$1, 7,11,17,43,49, 53,59 \pmod {60}.$$

Answer 3

Obsérvese que no existe tal cosa como que las condiciones mod 3 y mod 5 sean incompatibles; véase El teorema chino del resto. En particular, 7 es 2 mod 5 y 1 mod 3.