Todos estamos familiarizados con el teorema subyacente
Teorema : Sea $~\text V~$ un espacio vectorial y $~\text W_1~$ y $~\text W_2~$ subespacios de $~\text V~$. Entonces $$\dim~(\text W_1~+~\text W_2)~=~\dim~(\text W_1)~+~\dim~(\text W_2)~-~\dim~(\text W_1\cap\text W_2)~.$$
Ahora mi pregunta es
Pregunta : ¿Cuál es el significado geométrico del teorema anteriormente mencionado?
La fórmula que mencionas se llama fórmula de Grassmann (curiosamente no puedo encontrar una entrada en Wikipedia en inglés sobre esto, por lo tanto, enlacé a la versión en francés). Se puede ver como una versión de espacio vectorial del principio de inclusión-exclusión, que establece que, dadas los conjuntos finitos $A$ y $B$, $$ |A\cup B|= |A| + |B| - |A\cap B|.$$ Aquí $|\cdot|$ denota la cardinalidad. Esto encaja en el principio general de que "los espacios vectoriales de dimensión finita son como conjuntos finitos", con "dimensión" en lugar de "cardinalidad", $^{[1]}$ y da una interpretación de la fórmula, en el caso de dos subespacios. (Esto es, discutiblemente, una interpretación "combinatoria", más que una geométrica).
Sin embargo, debemos tener en cuenta que esto falla espectacularmente para más de dos subespacios. El principio de inclusión-exclusión para tres conjuntos dice $$ |A\cup B\cup C| = |A|+|B|+|C| -|A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|, $$ así que es muy natural conjeturar que $$ \begin{split} \dim(W_1+W_2+W_3)&=\dim W_1 + \dim W_2 + \dim W_3 \\ &-\dim(W_1\cap W_2) - \dim(W_1\cap W_3) - \dim(W_2\cap W_3) \\ &+ \dim(W_1\cap W_2\cap W_3)\end{split},$$ que, sin embargo, es falso. Me resulta sorprendente.
En conclusión, la fórmula de Grassmann tiene una interpretación geométrica solo en el caso de dos subespacios.
[1] Por ejemplo, una manifestación de este principio es el teorema de que, si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, entonces hay una biyección entre ellos; de manera análoga, si dos espacios vectoriales tienen la misma dimensión, entonces son isomorfos.
Estás viendo el subespacio generado por combinaciones lineales de vectores en $W_1$ y $W_2$. Supongamos que estamos trabajando en un espacio tridimensional. Los posibles subespacios son:
Ahora elige cualquiera de los dos (puedes repetir la dimensionalidad). Por ejemplo, di dos líneas. La dimensión de cada línea es 1. Si no son paralelas, la dimensionalidad de la intersección es $0$, de lo contrario la intersección es igual a cualquiera de las líneas. Así que el subespacio formado por líneas paralelas tiene una dimensionalidad $1=1+1-1$ (es igual a cualquiera de las líneas) o $2=1+1-0$ (forman un plano).
Tomemos otro ejemplo, una línea y un plano. Si la línea está en el plano, la intersección es la línea misma, entonces el subespacio tiene dimensión $2=2+1-1$. Si la línea no está en el plano, el subespacio es todo el espacio $3=2+1-0$.
Dos planos pueden ser idénticos, entonces $W_1+W_2$ tendría dimensión $2=2+2-2$. Si los planos no son idénticos, se intersectarán a lo largo de una línea. Entonces abarcarán todo el espacio $3=2+2-1$. Y así sucesivamente.
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