El campo de ruptura de un polinomio irreducible sobre un campo finito es igual a su campo de descomposición

Question

Sea $k= \mathbb{F}_{q}$ un campo finito y $P \in k[X]$ un polinomio irreducible. Muestra que su campo de ruptura es también su campo de descomposición.

Mi enfoque :

Sea $K$ el campo de descomposición de P. Por el teorema del elemento primitivo, $K= k(\alpha)$ para algún $\alpha \in K$. Si puedo demostrar que $\alpha$ es una raíz de $P$, entonces está terminado. ¿Pero es una raíz de $P$?

Answer 1

Sea $d:=\deg P$ y sea $K$ un campo de descomposición de $P$ sobre $k$, con $\alpha_1,\ldots,\alpha_d\in K$ las raíces de $P$ en $K$. Sea $L_i=k(\alpha_i)\subset K$ de manera que $[L_i:k]=d$ para todo $i$, porque $P$ es irreducible sobre $k$. Entonces $L_i$ es el subcampo de $K$ fijado por $x\ \mapsto\ x^{q^d}$, y así $L_i=L_j$ para todo $i$ y $j$. Por lo tanto cada $L_i$ es un campo de descomposición de $P$.