¿Dónde aparece por primera vez el término representación de Hodge-Tate? ¿Puedo encontrar en algún lugar una explicación de la terminología Hodge-Tate, Derham, etc. para representaciones y anillos de Fontaine?
Respuesta
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La noción de descomposición de Hodge-Tate fue introducida por Tate, en 1967. (El documento en sí se llama grupos $p$-divisibles, y apareció en las Actas de una conferencia sobre campos locales que tuvo lugar en Driebergen.) Allí, muestra que sobre un campo $p$-ádico, el módulo Tate $p$-ádico $T_p(G)$ de una variedad abeliana con buena reducción $G$ posee una especie de descomposición de Hodge: $$ T_p(G) \otimes_{\mathbf Z_p} {\mathbf C_p} \simeq \mathbf C_p^g \oplus \mathbf C_p(-1)^g, $$ como módulos de Galois, donde $\mathbf C_p(-1)$ denota la acción a través del carácter cíclico, y $g$ es la dimensión de $G. Esto recuerda a la descomposición de Hodge sobre los números complejos.
Más tarde, Faltings demostró que la cohomología étale $p$-ádica de cualquier variedad proyectiva lisa sobre un campo local $p$-ádico admite una descomposición similar al ser tensada con $\mathbf C_p$: $$ H^n(X,\mathbf Z_p)\otimes\mathbf C_p \simeq \bigoplus \mathbf C_p(i)^{h^{i,n-i}}, $$ donde $h^{i,n-i}=\dim H^i(X,\Omega_X^{n-i})$ son los números de Hodge.
Ahora, existen otras teorías de cohomología, la cristalina, la De Rham, etc. y los anillos forjados por Fontaine juegan el papel que $\mathbf C_p$ (técnicamente, la suma directa de todos los $\mathbf C_p(i)$) juega para la cohomología de Hodge.
