Temperatura y dilatación del tiempo

Question

Imagina que tienes un isótopo líquido radioactivo con una vida media igual a X. Si estuviera frío, las moléculas se moverían lentamente y, por lo tanto, no habría prácticamente ninguna dilatación temporal involucrada, lo que resultaría en la vida media estándar de X.

Ese mismo isótopo líquido radioactivo ahora se calienta a una temperatura muy alta. Las moléculas se mueven más rápido, ¿entonces deberían experimentar alguna dilatación temporal, verdad? Si es así, ¿no debería la vida media convertirse en X + ? Dado que, dados los aspectos prácticos, sería realmente pequeño, pero en teoría, si eleváramos suficientemente la temperatura para que la velocidad de las moléculas fuera un porcentaje no trivial de c, ¿no aumentaría significativamente la vida media?

Si es así, ¿la dilatación temporal es realmente un efecto microscópico? En el ejemplo de la nave espacial, donde un gemelo viaja a Antares o algo así, y luego regresa más joven que su gemelo, ¿sería más preciso (y sí, me doy cuenta de que las diferencias serían insignificantes) decir que cada parte de él es un poco diferente en edad?

Answer 1

Este tipo de dilatación temporal es un efecto real y observable, aunque es más fácil de ver en sólidos que en gases. A medida que la temperatura de un cristal aumenta, las vibraciones atómicas en su interior aumentan en amplitud. Debido a que sus velocidades promedio son más altas, experimentan una mayor dilatación del tiempo a temperaturas más altas, lo cual puede observarse con una precisión ultra alta espectroscopía Mössbauer.

Esto fue notado por primera vez en el experimento de Pound-Rebka, el cual midió el desplazamiento al rojo gravitacional utilizando una fuente Mössbauer y un detector colocados lejos uno del otro en la parte superior e inferior de un largo pozo. Inicialmente, no obtuvieron la precisión que esperaban, hasta que se señaló (creo que fue por un joven Brian Josephson) que la diferencia de temperatura entre la fuente y el detector estaba sesgando las frecuencias observadas de los rayos γ experimentales (un desplazamiento de frecuencia equivalente a un cambio inverso en la tasa de paso del tiempo). Las temperaturas en la parte superior e inferior de la configuración experimental debían conocerse con una fracción de grado para obtener una medición lo suficientemente precisa como para ver el desplazamiento al rojo gravitacional (que tenía un tamaño de solo unas pocas partes por $10^{15}$).

Personalmente he observado este fenómeno en el laboratorio. Soplar aire caliente desde un secador de pelo portátil en la fuente de $^{57}$Co en un extremo de un aparato Mössbauer fue suficiente para ver el pico de absorción, moverse desde el detector en el otro extremo.

Answer 2

Para un gas ideal, la distribución clásica Maxwell-Boltzmann es reemplazada por la distribución Maxwell-Jüttner-Synge. Qué tan relativista es una temperatura puede ser parametrizado por la relación de energía térmica a la energía de masa en reposo:

$$\theta = \frac{kT}{mc^2}$$

La función MJS es (https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell–Jüttner_distribution):

$$f(p) = \frac 1 {4\pi m^3c^3\theta K_2(\theta^{-1})} e^{-\frac {\gamma(p)} {\theta}}$$

Nota que, con

$$p = \gamma m\beta c$$

y lo usual:

$$\gamma = \frac 1 {\sqrt{1-\beta^2}}$$

entonces también:

$$\gamma = \sqrt{1+\big(\frac p {mc}\big)^2}$$

lo cual es una expresión mucho menos común.

Tal vez ve a Wolfram integrate para obtener el aumento promedio de duración de vida:

$$\bar{\gamma} = \langle \gamma(p)f(p) \rangle$$

afortunadamente la función Bessel de segundo tipo aparece como una constante:

$$K_2\big(\frac{mc^2}{kT}\big)$$

así que tu integral es de la forma:

$$\int \sqrt{a^2+x^2} e^{-\sqrt{a^2+x^2}} dx$$

de todas formas, parece haber respuestas aquí:

¿La Calor Causa Dilatación Temporal?