Convergencia del método de Lax-Wendroff

Question

¿Cuál es la condición de convergencia del esquema de Lax-Wendroff para resolver $U_t+AU_x=0$, donde $$A=\begin{pmatrix}2&1&0 \\ 1&1&2\\0&2&-1\end{pmatrix}$$

No sé qué debería hacer aquí.

Gracias de antemano.

Answer 1

Por construcción, el método de Lax-Wendroff $$U_i^{n+1} = U_i^{n} - \frac{\Delta t}{2\Delta x} A (U_{i+1}^{n}-U_{i-1}^{n}) + \frac{{\Delta t}^2}{2{\Delta x}^2} A^2 (U_{i+1}^{n}-2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n})$$ es consistente con el sistema lineal de leyes de conservación $\partial_t U + A \partial_x U = 0$ (cf. esta publicación y otras relacionadas), donde $U_i^{n} \simeq U(i\Delta x, n\Delta t)$. Queda por demostrar estabilidad para tener un método convergente. El método de Lax-Wendroff no es un esquema monótono, por lo tanto la técnica que consiste en demostrar directamente $\|U^{n+1}\| \leq \|U^{n}\|$ no funcionará. Sin embargo, para problemas lineales, la condición de estabilidad se puede obtener utilizando análisis de Fourier (enfoque de von Neumann). Para hacerlo, la matriz $A$ se diagonaliza como $A = R\Lambda R^{-1}$, donde $$\Lambda = \text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = \begin{pmatrix}3&0&0 \\ 0& \frac{-1 - \sqrt{13}}{2}&0 \\ 0&0&\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\end{pmatrix} .$$ Se puede mostrar que $V = R^{-1}U$ satisface el sistema lineal diagonal de leyes de conservación $\partial_t V + \Lambda \partial_x V = 0$. Por lo tanto, la estabilidad del método de Lax-Wendroff para $\partial_t U + A \partial_x U = 0$ se deduce de la estabilidad del método de Lax-Wendroff para todas las leyes de conservación escalares $\partial_t V_p + \lambda_p \partial_x V_p = 0$. El análisis de von Neumann da la condición de estabilidad de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) $$\left|\frac{\lambda_p \Delta t}{\Delta x}\right| \leq 1$$ para todos los $p$, es decir, ${\Delta t} \leq \frac{1}{3}{\Delta x}$.