¿Por qué es el estrés de la energía tensor simétrico?

Question

El relativista de tensión-energía tensor $T$ es importante tanto en la relatividad especial y general. ¿Por qué es simétrica, con $T_{\mu\nu}=T_{\nu\mu}$?

Como una cuestión secundaria, ¿cómo se relaciona esto con la simetría de la nonrelativistic tensor de tensiones de Cauchy de un material? Al parecer, esto es interpretado como debido a la conservación del momento angular, que no parece conectado a las razones para el relativista cantidad de la simetría.

Answer 1

Aquí vamos a discutir general relativista diffeomorphism-invariante de la materia teorías en una curva el espacio-tiempo en el límite clásico en $\hbar\to 0$ por la simplicidad. En particular, no vamos a discutir el SEM pseudotensor para el campo gravitatorio, pero sólo el estrés de energía-impulso (SEM) tensor de la materia (m) campos de $\Phi^A$. Insistimos en que nuestras conclusiones serán independientes de si la agencia EFEs están satisfechos o no.

I) Por un lado, la base de Hilbert SEM-tensor de densidad de$^1$ es claramente simétrica$^2$

$$\tag{1} \sqrt{|g|}T^{\mu\nu}~\equiv~{\cal T}^{\mu\nu}~:=~-2\frac{\delta S_m}{\delta g_{\mu\nu}},$$

cf. un comentario por Lubos Motl. Sin embargo, tenga en cuenta que la definición básica (1) no es aplicable, por ejemplo, fermionic la materia curva el espacio-tiempo, cf. Sección II.

Diffeomorphism invariancia lleva (a través de Noether 2 del teorema) a un shell de identidad. El uso de la materia nca. de movimiento (moe)

$$\tag{2} \frac{\delta S_m}{\delta \Phi^A}~\stackrel{m}{\approx}~0, $$

la correspondiente Noether 2ª identidad lee$^3$

$$\tag{3} \nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0, $$

cf. por ejemplo, Ref. 1. [Aquí el $\stackrel{m}{\approx}$ símbolo significa la igualdad modulo materia de misiones de observación electoral. La conexión de $\nabla$ es la de Levi-Civita de conexión.] Eq. (3) sirve como una importante comprobación de coherencia. Una cuestión de origen $T^{\mu\nu}$ a los EFEs debe satisfacer la ecuación. (3), cf. el (diferencial) Bianchi identidad.

II) En el Cartan formalismo, la fundamental del campo gravitatorio no es el tensor métrico $g_{\mu\nu}$, pero en lugar de un vielbein $e^a{}_{\mu}$. La generalización de Hilbert SEM-tensor de densidad se define como

$$\etiqueta{4}{\cal T}^{\mu}{}_{\nu}~:=~{\cal T}^{\mu}{}_a~e^{}_{\nu}, \qquad {\cal T}^{\mu}{}_a ~:=~- \frac{\delta S_m}{\delta e^{}_{\mu}}, $$

que ya no es manifiestamente simétrica, cf. por ejemplo, Ref. 2.

A continuación tenemos dos simetrías: local de la simetría de Lorentz y diffeomorphism invariancia.

En primer lugar, local de Lorentz simetría conduce (a través de Noether 2 del teorema) a un shell de identidad. El uso de la materia de misiones de observación electoral (2), la correspondiente Noether 2ª identidad lee

$$\tag{5} {\cal T}^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~{\cal T}^{\nu\mu},$$

yo.e la generalización de Hilbert SEM-tensor de densidad (4) todavía es simétrica cuando el asunto de misiones de observación electoral son satisfechos.

En segundo lugar, diffeomorphism invariancia lleva (a través de Noether 2 del teorema) a un shell de identidad$^4$

$$\etiqueta{6} d_{\mu}{\cal T}^{\mu}{}_{\nu} ~=~{\cal T}^{\mu}{}_a ~d_{\nu}e^{}_{\mu} -\frac{\delta S_m}{\delta \Phi^A}~d_{\nu}\Phi^A. $$

No es de extrañar, ecualizadores. (5), (6), y $(\nabla_{\nu} e)^a{}_{\mu}=0$ implica eq. (3).

III) Por otro lado, la canónica SEM-tensor de densidad

$$\etiqueta{7} \Theta^{\mu}{}_{\nu} ~:=~\frac{\partial {\cal L}_m}{\parcial\Phi^A_{,\mu}}\Phi^A_{,\nu} -\delta^{\mu}_{\nu}{\cal L}_m$$

es que no siempre simétrica, cf. por ejemplo, este Phys.SE post. El hecho de que la densidad Lagrangiana ${\cal L}_m$ no tiene ningún explícito el espacio-tiempo la dependencia conduce (a través de Noether del 1er teorema) a un shell de identidad

$$\etiqueta{8} d_{\mu}\Theta^{\mu}{}_{\nu} ~=~-\frac{\delta S_m}{\delta e^{}_{\mu}}~d_{\nu}e^{}_{\mu} -\frac{\delta S_m}{\delta \Phi^A}~d_{\nu}\Phi^A. $$

Recordemos que el campo gravitatorio, el vielbein $e^a{}_{\mu}$, es no necesariamente en la cáscara. Recuerde que estamos haciendo PIES en la curva el espacio-tiempo, en lugar de GR. Como consecuencia de ello, el primer término en el lado derecho de Noether de la 1 de la identidad (8) rompe la interpretación usual de Noether del 1er teorema como líder a un shell de la ley de la conservación. [Es reconfortante ver que se restauró por una constante vielbein con $d_{\nu}e^a{}_{\mu}=0$.]

IV) Nca. (4), (6) y (8) implica que

$$\tag{9} d_{\mu}({\cal T}^{\mu}{}_{\nu}-\Theta^{\mu}{}_{\nu})~=~0.$$

Uno puede mostrar que en general existe una Belinfante mejora tensor de densidad

$$\tag{10} {\cal B}^{\lambda\mu}{}_{\nu}~=~-{\cal B}^{\mu\lambda}{}_{\nu},$$

tal que

$$\etiqueta{11} {\cal T}^{\mu}{}_{\nu}-\Theta^{\mu}{}_{\nu} ~=~d_{\lambda}{\cal B}^{\lambda\mu}{}_{\nu},$$

cf. por ejemplo, mi Phys.SE la respuesta aquí. Tenga en cuenta que la nca. (10) y (11) son consistentes con eq. (9).

V) Eq. (11) sirve como un importante comprobar la coherencia de Hilbert SEM-tensor de densidad (4) frente a la canónica SEM-tensor de densidad (7). Eq. (11) implica que los dos correspondientes Noether cargos, la energía-momentum $4$-covectors

$$\tag{12} P_{\nu} ~:=~ \int\! d^3x~{\cal T}^0{}_{\nu} \quad\text{and}\quad \Pi_{\nu} ~:=~ \int\! d^3x~\Theta^0{}_{\nu} $$

son iguales hasta el límite espacial términos

$$\tag{13} P_{\nu}-\Pi_{\nu}~=~\int\! d^3x~d_i{\cal B}^{i0}{}_{\nu}~\sim~0,$$

cf. el teorema de la divergencia.

Referencias:

1. R. M. Wald, GR; Apéndice E. 1.

2. D. Z. Freedman & A. Van Proeyen, SUGRA, 2012; p. 181.

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$^1$ Un tensor de densidad ${\cal T}^{\mu\nu}= e T^{\mu\nu}$ es en este contexto sólo un tensor $T^{\mu\nu}$ multiplicado por la densidad de $e=\sqrt{|g|}$.

$^2$ Convenios: En esta respuesta, utilizaremos $(+,-,-,-)$ Minkowski convención de signos. Griego índices de $\mu,\nu,\lambda, \ldots,$ son las llamadas curvas de índices, mientras que Romano índices de $a,b,c, \ldots,$ son llamados planos de los índices.

$^3$ No ecualización. (3) no es una ley de la conservación por sí mismo. Para obtener una ley de conservación, necesitamos Matar a un campo de vectores, cf. por ejemplo, mi Phys.SE la respuesta aquí.

$^4$ Aquí hemos supuesto que el asunto de los campos de $\Phi^A$ sólo llevar plana o spinorial índices, cf. la configuración de mi Phys.SE la respuesta aquí. Si $\Phi^A$ también tienen curvas índices, habrá nuevos términos en la ecuación. (6) proporcional a la cuestión de misiones de observación electoral.

Answer 2

Aquí está mi respuesta a la primera parte de la pregunta. No sé la respuesta a la segunda parte.

Vamos a elegir un conjunto local de Minkowski coordenadas $(t,x,y,z)$. A continuación, $T_{\mu\nu}$ representa un flujo de la $\mu$ componente de energía-impulso a través de una hipersuperficie perpendicular a la $\nu$ eje. Por ejemplo, digamos que tenemos un montón de partículas en reposo en un marco especial, y considerar la posibilidad de $T_{tt}$. El componente de tiempo de $p_t$ de la energía-impulso del vector es la masa-energía. Dado que estas partículas están en reposo, su masa-energía es en forma de masa. Si hacemos una hipersuperficie perpendicular a la $t$ eje, es decir, una hipersuperficie de la simultaneidad, a continuación, todas estas partículas mundial de líneas, pasando por la hipersuperficie, y que es el flujo que se $T_{tt}$ medidas: esencialmente, la densidad de la masa.

Esto hace plausible que la $T$ tiene que ser simétrico. Por ejemplo, digamos que tenemos algunos nonrelativistic partículas. Si tenemos un valor distinto de cero $T_{tx}$, que representa un flujo de masa a través de una hipersuperficie perpendicular a $x$. Esto significa que la masa se mueve en el $x$ dirección. Pero si la masa se mueve en el $x$ dirección, entonces tendremos un $x$ ímpetu $p_x$. Por lo tanto, también debemos tener un $T_{xt}$, ya que este impulso es transportado por las partículas, cuyo mundo-líneas pasan a través de una hipersuperficie de la simultaneidad.

Más rigurosamente, las ecuaciones de campo de Einstein dice que la curvatura de Einstein tensor $G$ es proporcional a la tensión-energía tensor. Desde $G$ es simétrica, $T$ debe ser simétrico así.