¿Tienen volumen finito las bolas de radio finito?

Question

Sea $M$ una variedad Riemanniana. Para un punto $p\in M$ y $r\ge0$, sea $B_r(p)$ el bola cerrada de radio $r$ alrededor de $p$, es decir, la bola que consiste en todos los puntos en $M$ que tienen distancia menor o igual a $r$ de $p$ en la métrica inducida por la métrica Riemanniana. ¿Tienen siempre estas bolas un volumen finito? Si no, ¿cuál es un contraejemplo?

En el caso de que tal bola sea compacta, necesariamente tiene un volumen finito, porque los cartas coordenadas suficientemente pequeñas tienen volumen finito y la bola podría entonces estar cubierta con un número finito de estas. Si $M$ es completo, el teorema de Hopf-Rinow implica que estas bolas son compactas, por lo que un contraejemplo debería ser incompleto, pero no sé nada más al respecto.

Answer 1

Considera la bola unidad abierta en $\mathbb{R}^2$ con coordenadas polares $(r,\theta)$ y una métrica de la forma $g=dr^2+f^2(r)d\theta^2$, donde $f$ es una función suave y positiva elegida para que $g$ se comporte bien en el origen. El conjunto $B_r(0)$ es el mismo que en la métrica euclidiana, ya que las geodésicas radiales no cambian, pero el volumen difiere; un cálculo simple muestra que $$ \operatorname{vol}(B_r(0))=2\pi\int_0^{\min(1,r)}f(\rho)d\rho $$ Así, $\operatorname{vol}(B_1(0))$ puede hacer que diverja al elegir un $f$ adecuado que diverja conforme $r\to 1^-$.

No lo he calculado, pero sospecho que la curvatura de tal métrica también diverge conforme $r\to 1^-$, y que este comportamiento específico puede controlarse con un límite inferior en la curvatura.

Edit:

Sin ningún tipo de supuestos de completitud, se pueden construir contraejemplos aún más patológicos. Aquí hay uno que es plano y simplemente conexo.

Sea $S$ la cubierta universal del plano euclidiano punteado con la proyección $\pi:S\to\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ (equipado con la métrica de retroceso), y sea $\rho:S\to\mathbb{R}$ la función "radial" definida por $\rho(p)=\|\pi(p)\|$. El conjunto $\{p\in S:\rho(p) es una subvariedad abierta de volumen infinito, ya que es una cobertura de infinitas hojas de una bola abierta punteada. Además, se puede mostrar construyendo caminos que giran alrededor del origen arbitrariamente apretados que $d(p,q)\le\rho(p)+\rho(q)$. Por lo tanto, cualquier bola $B_r(p)$ en $S$ con $r>\rho(p)$ tiene volumen infinito.

Con este tipo de comportamiento patológico local en mente, no creo que el tamaño de las bolas geodésicas pueda ser controlado solo limitando la curvatura.