Sea $R$ un anillo. Muestra que el mapa $\theta : R[x] \rightarrow R$ dado por $\theta(a_0+a_1 x+\cdots+a_nx^n) = a_0$ es un homomorfismo de anillos. Muestra que $ker (\theta)$ es el ideal principal $(x)$. Aquí $R[x] = \{a_0+a_1 x+\cdots+a_nx^n \mid a_i \in R\}$, el anillo de polinomios, y $(x) = \{ax\mid a\in R\}= xR[x]$, el ideal generado por $x.
Ya mostré que este era un homomorfismo de anillos, pero no sé cómo demostrar que $\ker(\theta) = (x)$. Obviamente
$\ker(\theta) = \{a \in R[x] \mid \theta(a) = 0\} =\{a_0+a_1 x + \cdots + a_nx^n \mid a_0 = 0, a_i \in R, i\neq0\}$
y
$$(x) = \{ax\mid a\in R[x]\}= xR[x].$$
Una cosa de la que estaba confundido era si $R[x]$ son polinomios que son de grado $n$, ¿no contendría $(x)$ polinomios de hasta grado $n+1$? Podría ver que el primer término en cada elemento de estos conjuntos tienen el mismo grado ya que para cualquier $a = a_0+a_1 x+\cdots+a_nx^n$, $x(a_0+\cdots+a_nx^n) = a_0x+\cdots+a_nx^{n+1}$. Si los grados fueran los mismos, simplemente iba a decir que como contienen los mismos elementos exactos $\ker(\theta) = (x)$, pero no estoy seguro de que eso sería suficiente. ¿Cuál sería una buena estrategia para demostrar esto?
