Estoy molesto por un ejercicio sobre transformaciones CP donde obtengo que la acción de CP sobre un campo de espinores de Dirac no es la misma que la transformación PC. El ejercicio establece las siguientes transformaciones de C y P: $$ C \psi(x) C^{-1}=-i\gamma^2 \psi ^* (x),\quad P \psi (x) P^{-1}=\gamma^0 \psi (\tilde{x}) $$ where $\tilde{x}=(x^0,-\vec{x})^T$. Si calculo el conjugado CP obtengo: $$ P^{-1}C^{-1} \psi (x)CP= P^{-1}(-i\gamma^2\psi^* (x))P=-i\gamma^0\gamma^2\psi^* (\tilde{x})$$ Pero si calculo el conjugado PC debería obtener: $$C^{-1}P^{-1} \psi (x)PC= C^{-1}\gamma^0\psi (\tilde{x})C=-i\gamma^2\gamma^{0*}\psi^* (\tilde{x}) $$ Dado que $\gamma^{0*}=\gamma^{0T}$ y además $C^{-1} \gamma^0 C=-\gamma^{0T}$ , esto debería resultar en lo siguiente: $$C^{-1}P^{-1} \psi (x)PC=i\gamma^2C^{-1} \gamma^0 C\psi^* (\tilde{x}) $$ Dado que $C=-i\gamma^2=C^\dagger$ es hermitiano y unitario: $$C^{-1}P^{-1} \psi (x)PC=-i\gamma^2\gamma^2 \gamma^0 \gamma^2\psi^* (\tilde{x}) =i \gamma^0 \gamma^2\psi^* (\tilde{x})$$ Donde el último paso utiliza el álgebra de Clifford de los gammas. Por lo tanto, permanece una diferencia de signo en las transformaciones CP y PC. Estoy bastante seguro de que cometí un error en alguna parte, pero no sé dónde. Otra idea mía fue si el signo $-$ es solo una fase no observable para el campo de Dirac. Espero que alguien pueda decirme exactamente dónde se produce el error en el cálculo.
Respuesta
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Ellos hacen el commuting. El error está en el segundo cálculo, que es la tercera línea de ecuaciones en el OP. Aquí tienes una copia de ese cálculo, con un número de ecuación para referencia: \begin{align} C^{-1} P^{-1}\psi(x)PC &= C^{-1}\gamma^0\psi(\tilde x) C \\ &{\color{red}\neq} -i \gamma^2(\gamma^0)^*\psi^*(\tilde x). \tag{1} \end{align} Cambié el último signo de igual por un signo desigual, porque no son iguales. El resto de esta respuesta explica por qué.
La clave es recordar que $C$ es una transformación lineal del álgebra de operadores. En símbolos, para cualquier operador $A$ en el espacio de Hilbert y para cualquier número complejo $z$, tenemos $$ C^{-1} (z A) C = z C^{-1} A C. \tag{2} $$ Para referencia, la definición de $C$ mostrada en el OP es esencialmente $$ C^{-1} \psi(x) C = -i\gamma^2\psi^*(x), \tag{3} $$ excepto que cambié la convención $C$/$C^{-1}$ para ser consistente con la convención usada en los cálculos. En esta definición, estamos eligiendo implícitamente un conjunto de generadores linealmente independientes para el álgebra de operadores, es decir, los operadores de campo $\psi_a(x)$, que son los componentes de $\psi(x)$ en una base particular. La ecuación (3) dice que $C$ reemplaza cada uno de esos operadores $\psi_a(x)$ por una combinación lineal especial de los operadores adjuntos $\psi_a^*(x)$. Pero $C$ sigue siendo un operador lineal, así que tenemos $$ C^{-1} z\psi(x) C = z C^{-1} \psi(x) C \tag{4} $$ para todos los números complejos $z$. En componentes, $$ C^{-1} z\psi_a(x) C = zC^{-1}\psi_a(x) C = -iz\sum_b(\gamma^2)_{ab} \psi_b^*(x). \tag{5} $$ Esto implica $$ C^{-1}\gamma^0\psi(x) C = \gamma^0 C^{-1}\psi(x) C = -i\gamma^0\gamma^2\psi^*(x). \tag{6} $$ En resumen, la versión corregida de la ecuación (1) es \begin{align} C^{-1} P^{-1}\psi(x)PC &= C^{-1}\gamma^0\psi(\tilde x) C \\ &= \gamma^0 C^{-1}\psi(\tilde x)C \\ &= -i \gamma^0\gamma^2\psi^*(\tilde x), \tag{7} \end{align} que concuerda con el primer cálculo (ya correcto) en el OP.
El mensaje importante es que $C$ es una transformación lineal de operadores en el espacio de Hilbert. Una matriz de Dirac no es un operador en el espacio de Hilbert. Es solo una matriz de coeficientes.
