Una función suave $h: M \to \mathbb{R}$ de Particiones de la Unidad con $| h (x) - g (x) | <\epsilon$ para todo $ x \in M​$.

Question

Sea $ M $ una variedad suave, $g: M \to \mathbb {R}$ una función continua y $\epsilon> 0$. Demuestra que existe una función suave $h: M \to \mathbb{R}$ con $| h (x) - g (x) | <\epsilon$ para todo $ x \in M$.

En general, la idea es considerar una partición de la unidad subordinada a la cobertura $ \{U_x: x \in M \}$ con $U_x = \{y \in M: | g (x) -g (y) | <\epsilon \}$, pero ¿cómo construir la función $h$?

Mi prueba comienza considerando $f_x: M \to \mathbb{R}$ con $f_x (g) = | g (x) -g (y) |$, por lo que si $g$ es continua, entonces $f_x$ es continua.

Ahora toma $U_x = f^{- 1}_x ((- \infty, \epsilon)) \subset M $ un conjunto abierto. Entonces $ U = \{U_x: x \in M \} $ es una cubierta abierta de M, y existe una partición de la unidad $ \{\phi_x: x \in M \} $ subordinada a $ U $, donde

$$ \phi_x: M \to \Bbb R $$

$$ 0 \le \phi_x \le 1 $$

$$ \text{supp} (\phi_x) \subset U_x $$

$$ \sum_ {x \in M} \phi_x = 1 $$

Sea $ h = \displaystyle \sum_ {x \in M} g(x) \cdot \phi_x $ suave, entonces como $ g(x) $ es constante, tenemos que $ g(x) \cdot \phi_x: M \to \Bbb R $ es suave.

pero no sé cómo demostrar que $ | h (y) - g (y) | <\epsilon$ para todo $y\in M $.

Answer 1

Para cada $x \in M$ considera el $U_x = \{ y \in M \mid |g(x) - g(y)| < \min(|\frac{g(x)}{2}|, \epsilon)\} $. También, para simplificar, puedes asumir que $U_x$ es un conjunto abierto con un cierre compacto. Simplemente intersectándolo con una carta alrededor de $x$. Como dijiste, $\{ U_x \}_{x \in M}$ cubre la variedad.

Ahora considera la partición de la unidad subordinada a esta cobertura. Entonces tenemos una colección $\{ \Psi_x \}_{x \in M}$ de funciones suaves con las propiedades que mencionaste. Ahora define $h$ como $\sum_{x\in M} g(x).\Psi$. Como cada $\Psi$ es suave y alrededor de cada punto de la variedad hay un número finito de elementos no nulos de la partición de la unidad, concluimos que $h$ es una función suave. Ahora, para mostrar que $h$ tiene la propiedad deseada, deja $y \in M$, entonces en $y$ solo hay un número finito de elementos no nulos en la partición de la unidad. Llamémoslos $\Psi_{x_1},...,\Psi_{x_k}$. Tenemos:

$$ |h(y)-g(y)| \leq \sum_{i=1}^{k} |g(y)-g(x_i)|\times \Psi_{x_i}(y) < \sum_{i=1}^{k} \epsilon \times \Psi_{x_i}(y) = \epsilon . $$

Así que $h$ es la función deseada.

Nótese que para cada $i$ tenemos $ y \in U_{x_i}$.