¿Elementos fuera de la diagonal de la matriz de densidad, medida de coherencia?

Question

Tengo un conjunto de sistemas y cada sistema está compuesto por un oscilador armónico cuántico unidimensional. Supongamos que todos los sistemas en el conjunto están en el siguiente estado cuántico

$$ |\Psi\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(|\psi_0\rangle e^{-iE_0 t/\hbar} + |\psi_1\rangle e^{-iE_1t/\hbar}\right) $$

donde $|\psi_0\rangle$ y $|\psi_1\rangle$ son autoestados del Hamiltoniano, que corresponden al estado fundamental y al primer estado excitado respectivamente. $E_0$ y $E_1$ son los autovalores asociados con $|\psi_0\rangle$ y $|\psi_1\rangle$, respectivamente. Ahora, si usamos $|\psi_0\rangle$ y $|\psi_1\rangle$ como un conjunto de funciones de base ortonormales, la matriz de densidad de este conjunto se puede calcular como

$$ \hat{\rho} = |\Psi\rangle \langle\Psi|=\dfrac{1}{2} \left[ \begin{array}{cc} 1&e^{i(E_1-E_0)t/\hbar}\\ e^{-i(E_1-E_0)t/\hbar}&1\\ \end{array} \right] $$

Ahora mi pregunta es: ¿Significa la matriz de densidad fuera de la diagonal que hay coherencia entre $|\psi_0\rangle$ y $|\psi_1\rangle$? Si es así, ¿podemos medir esta coherencia a través de algún enfoque experimental?

Answer 1

Cuando se trata de decoherencia, a menudo se dice que los elementos fuera de la diagonal de la matriz de densidad son responsables de la coherencia. Desaparecen si no hay coherencia. Pasé mucho tiempo tratando de entender esto, y todavía no estoy seguro si mi explicación es correcta. Veamos:

Imagina que pudiéramos clonar un conjunto descrito por $\rho$ antes de hacer mediciones sobre él. Esta técnica mágica nos permitiría obtener probabilidades para los resultados de la medición sin destruir el conjunto original. En la primera ejecución, determinaríamos la probabilidad para $|\psi_0\rangle$ y $|\psi_1\rangle$, que deberían ser $\langle \psi_0 | \rho | \psi_0 \rangle$ y $\langle\psi_1|\rho|\psi_1\rangle$ respectivamente. Para los experimentos siguientes, cambiamos el dispositivo de medición para medir otra observable. Supongamos que el conjunto de eigenvectores ortonormales de esta segunda observable contiene un elemento de la forma $$|\sigma\rangle := \alpha |\psi_0\rangle + \beta|\psi_1\rangle.$$ Si no hay coherencia en el conjunto, esperaríamos que la probabilidad para $|\sigma\rangle$ sea $$ |\alpha|^2 \langle\psi_0|\rho|\psi_0\rangle + |\beta|^2 \langle \psi_1 | \rho| \psi_1 \rangle. $$ Pero si nuestros experimentos muestran una probabilidad diferente, probablemente diríamos: "bazinga, hay algún misterio cuántico (también conocido como coherencia) sucediendo". La teoría cuántica dice que la probabilidad para $|\sigma\rangle$ es $$ \langle \sigma |\rho |\sigma \rangle = |\alpha|^2 \langle\psi_0|\rho|\psi_0\rangle + |\beta|^2 \langle \psi_1 | \rho| \psi_1 \rangle + 2\Re\big( \alpha^*\beta \langle \psi_0|\rho|\psi_1\rangle\big), $$ que difiere de lo anterior si el elemento fuera de la diagonal $\langle\psi_0|\rho|\psi_1\rangle$ no se desvanece. En resumen, vemos decoherencia si la matriz de densidad tiene elementos fuera de la diagonal no nulos.

Hay otro punto que me gustaría mencionar en este contexto. Digamos que nuestra matriz de densidad tiene todos los elementos fuera de la diagonal nulos. ¿Significa esto que no hay coherencia en el conjunto? Creo que la respuesta correcta a esta pregunta es "no, pero...". Veamos más de cerca. Para una matriz de densidad $$ \rho = \sum_k p_k |\varphi_k\rangle\langle\varphi_k|, $$ donde $p_k$ es la probabilidad de que un sistema esté en el estado $|\varphi_k\rangle$, elementos fuera de la diagonal nulos solo significan que $$ 0 = \sum_k p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle, $$ es decir, los elementos $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$ suman cero. Para afirmar con certeza que no hay coherencia, necesitamos que todos los elementos $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$ sean cero, pero esto no es lo que se sigue de los elementos fuera de la diagonal nulos. El punto clave es que no tenemos forma de distinguir entre diferentes conjuntos descritos por la misma matriz de densidad. Por lo tanto, para nuestros experimentos, un conjunto en el que todos los $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$ suman cero se comporta exactamente como un conjunto en el que todos los $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$ se desvanecen, es decir, un ejemplo sin estados coherentes. En resumen, podemos decir que un conjunto descrito por una matriz de densidad con elementos fuera de la diagonal nulos se comporta como si no hubiera estados coherentes. Aún puede haber estados coherentes en nuestro conjunto, pero no tenemos forma de detectarlos.

Answer 2

Tienes razón. Las diagonales representan la coherencia entre las dos posibilidades.

De hecho, se puede medir. Considera medir en la base +/-, es decir, actuando en tu matriz de densidad con el operador $|+\rangle \langle+|$ donde:

$|+\rangle = (|0\rangle + |1\rangle) / \sqrt2$.

El valor esperado de este operador está dado por Tr($\rho |+\rangle \langle+|$).

Poniendo esto en tu ejemplo, notarás que el resultado de la medición oscila con el tiempo, con una frecuencia igual a la diferencia de energía. Si en su lugar tuvieras la matriz de densidad sin diagonales, esta cantidad sería "plana" (sin cambios en el tiempo, valor 1/2).

Tu qubit podría estar en el estado $|0\rangle$, en cuyo caso el operador anterior tiene un valor esperado de 1/2. Si estuviera en el estado $|1\rangle$ nuevamente, el valor sería 1/2. Si tuviéramos una máquina que lanzara una moneda y generara ya sea $|0\rangle$ o $|1\rangle$, entonces la matriz de densidad producida por la máquina sería la tuya pero sin diagonales, y en este caso el resultado esperado de la medición sería nuevamente 1/2.

Pero tu estado no es una elección aleatoria de las dos opciones de esa manera, es una superposición cuántica, por lo que las probabilidades de los dos casos posibles no se suman de la manera normal, lo cual es lo que las diagonales mantienen en cuenta.