Demostrar que el producto de 3 corchetes cruzados es igual a 1 o -1

Question

Aquí hay un problema de un libro de texto chino Geometría Avanzada (4ta edición, ISBN: 9787040537550):

Una línea recta intersecta los 3 lados $P_{1}P_{2}P_{3}$ de un triángulo en los puntos $Q_{1}$, $Q_{2}$ y $Q_{3}$. Tomar otros 3 puntos $Q'_{1}$, $Q'_{2}$ y $Q'_{3}$ en $P_{2}P_{3}$, $P_{3}P_{1}$ y $P_{1}P_{2}$ respectivamente, de modo que $(P_{2},P_{3};Q'_{1},Q_{1})=k_1$, $(P_{3},P_{1};Q'_{2},Q_{2})=k_2$ y $(P_{1},P_{2};Q'_{3},Q_{3})=k_3$. Probar:

1. $Q'_{1}$, $Q'_{2}$ y $Q'_{3}$ son colineales si y solo si $k_1\cdot k_2\cdot k_3=1$
2. $P_{1}Q'_{1}$, $P_{2}Q'_{2}$ y $P_{3}Q'_{3}$ son concurrentes si y solo si $k_1\cdot k_2\cdot k_3=-1$

Creo que la afirmación 1 se puede demostrar utilizando el teorema de Menelao dos veces, y la afirmación 2 se puede demostrar combinando el teorema de Menelao y el teorema de Ceva. Sin embargo, el siguiente problema muestra que mi enfoque no es la respuesta que quiere el libro:

Usar los resultados anteriores para demostrar el teorema de Menelao y el teorema de Ceva. (Pista: Colocar $Q_{1}$, $Q_{2}$ y $Q_{3}$ en una línea de infinito.)

¿Hay otras demostraciones de estas 2 afirmaciones sin usar el teorema de Menelao y el teorema de Ceva? (El teorema de Menelao se puede demostrar fácilmente mediante la ley del seno, por lo que creo que la ley del seno no se puede usar en la demostración.)

Una estrella antes del problema 6 puede indicar que el problema es difícil.

Answer 1

Compré el libro guía (ISBN: 9787040129472) para ese libro de texto y obtuve la pista para usar un teorema declarado en el libro:

Si cuatro puntos colineales diferentes se representan en coordenadas homogéneas como $P_1(a)$, $P_2(b)$, $P_3(a+\lambda_1b)$ y $P_4(a+\lambda_2b)$, entonces $(P_1,P_2;P_3,P_4)=\lambda_1/\lambda_2$.

Una forma simplificada de este teorema se declara aquí.

Así que representamos $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q'_1$, $Q'_2$ y $Q'_3$ como:

$$\begin{cases} Q_1=P_2+\lambda_1P_3\\ Q_2=P_3+\lambda_2P_1\\ Q_3=P_1+\lambda_3P_2\\ Q'_1=P_2+\lambda'_1P_3\\ Q'_2=P_3+\lambda'_2P_1\\ Q'_3=P_1+\lambda'_3P_2\\ \end{cases}$$

tal que $k_1=\lambda'_1/\lambda_1$, $k_2=\lambda'_2/\lambda_2$ y $k_3=\lambda'_3/\lambda_3$.

$Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$ son colineales si y solo si $Q_3$ puede ser representado como $Q_3=xQ_1+yQ_2$. Tomando $(P_1,P_2,P_3)$ como base, entonces podemos resolver x, y y $\lambda_3$, así que $\lambda_3=-1/\lambda_1\lambda_2$.

Así que la primera afirmación:

$Q'_1$, $Q'_2$ y $Q'_3$ son colineales si y solo si $k_1\cdot k_2\cdot k_3=1$

Esto puede demostrarse a partir de $\lambda'_3=-1/\lambda'_1\lambda'_2$.

Luego la segunda afirmación:

$P_1Q'_1$, $P_2Q'_2$ y $P_3Q'_3$ son concurrentes si y solo si $k_1\cdot k_2\cdot k_3=-1$

Tomemos el punto $O=P_1Q'_1\cap P_2Q'_2$ entonces $O=xP_1+Q'_1=yP_2+zQ'_2$. $P_1Q'_1$, $P_2Q'_2$ y $P_3Q'_3$ son concurrentes en O si y solo si $O=wP_3+vQ'_3$. También tomando $(P_1,P_2,P_3)$ como base, entonces podemos resolver x, y, z, w, v y $\lambda'_3$, así que $\lambda'_3=1/\lambda'_1\lambda'_2$, lo cual prueba la afirmación.