¿Lo que ' s la fórmula para el desafío de penny de 365 días?

Question

Usted podría haber visto el viral posts acerca de "ahorrar un centavo por día durante un año y gana $667.95!" Los matemáticos aquí ya se consigue el concepto, mientras que en algunos otros puede estar pasando, "qué"? Por supuesto, lo que el reto se refiere es la adición de un número de monedas de un centavo, a un frasco para lo que el día en que te encuentres. Así:

Day 1 = + .01
Day 2 = + .02
Day 3 = + .03
Day 4 = + .04

Así que al final, usted añade todo así:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = 66795

La verdadera pregunta es, ¿qué es una fórmula sencilla para obtener una suma de números enteros consecutivos, comenzando en el número entero 1, sin tener que contar todo?!

Answer 1

La verdadera pregunta es, ¿qué es una fórmula sencilla para obtener una suma de números enteros consecutivos, comenzando en el número entero 1, sin tener que contar todo

Mientras que otros han respondido a la pregunta, no me pude resistir a reflejar algo de la historia asociados con la pregunta.

La pregunta que se formula se refiere de nuevo a un famoso matemático, Gauss, la historia a veces se refiere como "Gauss Castigo", va como:

En la escuela primaria en la década de 1700, Gauss se le preguntó a encontrar el la suma de los números de 1 a 100. La pregunta fue asignado como "ocupado de trabajo" por el profesor, pero Gauss encontró la respuesta más rápidamente el descubrimiento de un patrón. Su observación fue de la siguiente manera:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 + 100

Gauss di cuenta de que si iba a dividir los números en dos grupos (1 a 50 y de 51 a 100), se podría añadir juntos en vertical para conseguir una suma de 101.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 48 + 49 + 50

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ... + 53 + 52 + 51

1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 3 + 98 = 101 . . . 48 + 53 = 101 49 + 52 = 101 50 + 51 = 101

Gauss se dio cuenta entonces de que su final total 50(101) = 5050.

El origen de la de arriba es sobre todo a partir de La suma de los primeros 100 números enteros.

Otra versión dice, él escribió los números de la siguiente manera:

001 + 002 + 003 +...+ 098 + 099 + 100 = S

100 + 099 + 098 +...+ 003 + 002 + 001 = S

(100+1)+(100+1)+(100+1)+...+ (100+1)+(100+1)+(100+1)= 2S

El valor de $(100+1)$ es repetido $100$ veces.

así, obtenemos:

$$100 * (100+1) = 2S$$

pero sólo nos interesa el valor de $S$

$$s=\frac{100*(100+1)}{2}$$

No hace falta decir, el número 100, puede ser cualquier entero positivo y el método sería el mismo. Es increíble lo que pasa en la mente de un niño que es muy joven!!!

Answer 2

Hemos tenido un montón de amigos de preguntar acerca de esto últimamente, como es de todo FaceBook. La fórmula es en realidad bastante simple:

(N (N + 1) ) / 2 where N = Highest value

O, Simplemente, $\frac {n(n+1)}{2}$

Así

365 (365 + 1) ) / 2 = 66795

Se Divide por 100 (porque hay 100 centavos de dólar) y la viola! $667.95

Ahora, este es un VIEJO matemáticas (piensa en el 6to siglo A.C.), en donde estos resultados se conoce como triángulo de números. En parte, porque como complemento, se pueden apilar los resultados en la forma de un triángulo!

1 = 1
     *
1 + 2 = 3 
     *
    * *
1 + 2 + 3 = 6
     *
    * *
   * * *
1 + 2 + 3 + 4 = 10
     *
    * *
   * * *
  * * * *

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NoChance también tiene una historia divertida y la respuesta a esta pregunta!

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Un poco de información sobre su lección: _{-{para el super nerd!}-}

"...Carl Friedrich Gauss se dice que han encontrado esta relación en su la primera juventud, por la multiplicación de n/2 pares de números en la suma por la los valores de cada par de n+1. Sin embargo, independientemente de la verdad de esta historia, Gauss no fue el primero en descubrir esta fórmula, y para algunos es probable que su origen se remonta a los Pitagóricos del siglo 5 AC..." - wikipedia

"...La matemática estudio de figurate números se dice que se originó con Pitágoras, posiblemente basada en la Babilónica o Egipcia precursores. La generación de cualquiera clase de figurate números de los Pitagóricos estudió mediante gnomons también se atribuye a Pitágoras. Por desgracia, no hay ninguna fuente de confianza para estas afirmaciones, porque todos sobrevivieron escritos sobre los Pitagóricos son de siglos más tarde. Parece asegúrese de que el cuarto triangular número de diez objetos, llamados tetractys en griego, es una parte central de la Pitagórica, la religión, junto con varias otras figuras también llamado tetractys. Figurate los números eran una preocupación de Pitágoras geometría. ... - wikipedia

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Ver? Cosas divertidas, números!

Answer 3

Como el crecimiento es lineal, el promedio es la media del primer día y último día asciende, por lo tanto

$$365\times\frac{0.01+3.65}2.$$

Answer 4

Que $S_1=1+2+3+....+(n-1)+n$,

y $S_2=n+(n-1)+(n-2)+...+2+1$, ha de quedar claro que $S_1=S_2$

Añadir la expresión dos da $S_1+S_2=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)$ hay números términos, es decir, $2S_1=n(n+1)$ o $S_1=\frac{n(n+1)}{2}$

Answer 5