¿Cuántas funciones $f$ es $f(x)^{2}=x^{2}$?

Question

¿Cuántas funciones $f$ ¿hay que satisfacer $f(x)^{2}=x^{2}$ % todo $x$?

Mi texto (Spivak cálculo; problema capítulo 7 7) hace esta pregunta continua $f$, para que la respuesta es, por supuesto 4:$$f(x)=x$$ $$f(x)=-x$$ $$f(x)=\lvert x \rvert$$ $$f(x)=-\lvert x \rvert,$$ and I want to make sure I'm correct that if $f # $ no tiene que ser continua, hay infinitamente muchos: cualquier combinación de piecwise de ellos (infinitamente muchos de que son uno de los anteriores e infinitamente muchos de los cuales no son).

Answer 1

Estás en lo correcto. De hecho, hay $2^{2^\omega}=2^\mathfrak{c}$ tales funciones, como si ellos no tienen que ser continuos. Para cada una de las $A\subseteq \mathbb{R}$ definir $f_A$ como sigue: $$f_A(x)=\begin{cases}x,&x\in A\\-x,&x\notin A\end{cases}$$ Then $f_A(x)^2=x^2$ for all $x\in\mathbb{R}$. It's easy to see that if $A\setminus\{0\}\ne B\setminus\{0\}$, then $f_A\ne f_B$, so we have one such function for every subset of $\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Finally, every function with the desired property is such a function: if $f(x)^2=x^2$ for all $x\in \mathbb{R}$, then $f=f_A$, where $A =$ $\{x\in\mathbb{R}:f(x)=x\}$.

Si usted se limita a las funciones continuas a trozos, sólo hay $2^\omega=\mathfrak{c}$ de ellos: no se $(2^\omega)^\omega=2^\omega$ maneras de elegir la partición de puntos entre las piezas, $2^\omega$ formas de elegir los $x$ o $-x$ en cada intervalo, y $2^\omega$ maneras de elegir los valores en los extremos, para un total de $(2^\omega)^3=2^\omega$ funciones.

Answer 2

Si $f$ no tiene que ser continua, sólo puede elegir $f(x)$ $|x|$ o $-|x|$ arbitrariamente en cada $x$, así que hay un montón de posibilidades para $f$ (más que yo no describiría como "por trozos" combinaciones de las 4 soluciones continuadas).

Answer 3

Que $s$ sea una función arbitraria $\mathbb{R}\to\{-1,+1\}$. A continuación, $f=s\cdot\mathrm{id}$ satisface la propiedad: $(s(x)x)^2=x^2$. De hecho, esto agota todas las posibles funciones, como se puede construir mirando $s$ $x/f(x)$ (y hacer una elección arbitraria cuando $x=0$).

Hay uncountably muchas de estas funciones, de hecho $2^\mathfrak{c}$ $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$ Dónde está la cardinalidad del continuo.