Solicitud de referencia: Topología de productos y secuencias convergentes

Question

Estoy buscando dos referencias:

1. Una topología metrizable está completamente determinada por la convergencia de secuencias
2. La topología del producto, si es metrizable, es la única topología en el espacio del producto para la cual tenemos convergencia coordenada por coordenada $x_n=(x_{1,n},x_{2,n},...) \to_n x=(x_1,x_2,...) \iff x_{i,n} \to_n x_n \, \, \forall i\in\mathbb{N}$

Answer 1

1. es un resultado básico. Una topología en $X$ está determinada de forma única por su operador de cierre, que mapea $A\subset X$ a $\bar A = Cl(A).$ Si $X$ es un espacio métrico entonces $p\in \bar A$ si y solo si existe una secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ en $A$ tal que $$\{p\}=\cap_{n\in \mathbb N}Cl(\{a_m:m\geq n\}).$$ Así que si dos topologías métricas en $X$ tienen el mismo conjunto de secuencias convergentes entonces tienen el mismo operador de cierre, por lo que son iguales.

Lo siento, no puedo darte una referencia.