Problema elemental con optimización restringida

Question

Estoy tratando de resolver

$$\begin{array}{ll} \text{extremizar} & f(x,y) := x^2+3y\\ \text{sujeto a} & \dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} -1 = 0\end{array}$$

No puedo entender por qué puedo encontrar los puntos $(0,3)$ y $(0,-3)$ como extremos al usar multiplicadores de Lagrange, o al resolver $g(x,y)$ para y y sustituir su valor en $f(x,y)$. Sin embargo, no pude obtener los mismos resultados al resolver $g(x,y)$ para x y sustituir su valor en $f(x,y)$, lo cual me da $y=\frac{27}{8}$.

¿Alguien puede aclarar?

Answer 1

Si intentas parametrizar tu dominio con polinomios, eso crea problemas porque es difícil cubrir tanto los valores negativos como positivos posibles para x. Por lo tanto, te recomiendo parametrizar tu dominio usando funciones trigonométricas. Deja que tu dominio se llame $M$.

$$ M = \left\{(x,y)\in\Bbb{R^2}|\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} = 1 \right\} $$

Ahora definamos una función de parametrización $\gamma : [0,2\pi) \rightarrow M$ que cubre todo el dominio

$$\gamma(t) = \begin{bmatrix}2\cos(t)\\3\sin(t)\end{bmatrix}$$

esto funcionará debido a que $\sin^2(t)+\cos^2(t) = 1$. Ahora determinemos los puntos críticos no restringidos de la función compuesta

$$(f \circ \gamma)(t) = 4\cos^2(t) +9\sin(t) = 2\cos(2t)+2+\sin(t)$$

y diferenciemos

$$\frac{{\rm d}}{{\rm d}t} (f \circ \gamma)(t) = -4\sin(2t)+9\cos(t)$$

tiene los puntos nulos $\pi/2$ y $3\pi/2$ en $[0,2\pi)$. Los siguientes serán los puntos críticos de f en M $$ \gamma(\pi/2) = (0,3)\\ \gamma(3\pi/2) = (0,-3)$$

Answer 2

Las ecuaciones de Lagrange que presuntamente encontraste son $$ 2x \ = \ \lambda · \frac{x}{2} \ \ , \ \ 3 \ = \ \lambda · \frac{2y}{9} \ \ \ . $$

La primera de estas se factoriza como $ \ x · \left( 2 - \frac12 · \lambda \right) \ = \ 0 \ \ , $ cuyas soluciones son $ \ x = 0 \ $ o $ \ \lambda = 4 \ \ . $ Podemos usar la ecuación de la elipse de restricción para encontrar los puntos $ \ (0 \ , \ \pm 3) \ \ , $ que nos dan los valores de máximo y mínimo absolutos para $ \ x^2 + 3y \ $ en la elipse de $ \ \pm 9 \ . $ El resultado para $ \ \lambda = 4 \ $ es el origen del resultado $ \ y = \frac{27}{8} \ \ , $ el cual "rechazamos" ya que no corresponde a un punto en la elipse.

Cuando resuelves la ecuación de restricción para obtener $ \ x^2 \ = \ 4 - \frac49 · y^2 \ \ , $ la función se convierte en $ \ f(y) \ = \ -\frac49 · y^2 + 3y + 4 \ \ . $ Observa que esta es la descripción de una parábola con apertura hacia abajo, por lo que solo obtendremos el máximo absoluto para la función, el cual ocurre en $ \ -\frac89 · y + 3 \ = \ 0 \ \Rightarrow \ y = \frac{27}{8} \ \ , $ obteniendo un valor de $ \ \frac{145}{16} \ \ . $ Nuevamente, este valor de $ \ y \ $ no satisface la ecuación de restricción, por lo que lo descartaríamos. Esta elección de sustitución ha "destruido" información sobre el comportamiento de la función en la elipse, aparentemente.

La otra elección de sustitución de coordenadas es $ \ y^2 \ = \ 9 - \frac94 · x^2 \ \ ; $ aquí, debemos asegurarnos de usar ambas raíces cuadradas, ya que necesitaremos estudiar las dos semielipses "encima" y "debajo" del eje $ x-$. Entonces necesitamos extremizar $ \ f_1(x) \ = \ x^2 \ + \ 3·\sqrt{9 - \frac94 · x^2} \ $ y $ \ f_2(x) \ = \ x^2 \ - \ 3·\sqrt{9 - \frac94 · x^2} \ \ . $ Estas tienen respectivamente un valor máximo de $ \ 9 \ $ y un valor mínimo de $ \ -9 \ \ , $ en $ \ x = 0 \ . $

Así que el problema con la "sustitución" de $ \ x^2 \ $ en la función es que se transforma en $$ -\frac49 · \left(y - \frac{27}{8} \right)^2 \ + \ \frac{145}{16} \ \ , $$ lo cual está relacionado con el caso de los multiplicadores de Lagrange para $ \ \lambda = 4 \ $. Interpretaríamos esto como un resultado "espurio" no conectado con el problema original.

[A continuación hay un gráfico de las dos curvas de nivel $ \ x^2 + 3y \ = \ \pm 9 \ $ y la elipse de restricción.]

ADICIÓN: Si resolvemos la ecuación de restricción para $ \ x \ $ insertando $ \ y \ = \ \frac{27}{8} \ $ , obtenemos $ \ x^2 \ = \ \mathbf{-\frac{17}{16}} \ \ , $ lo cual nos da el valor de la función $ \ -\frac{17}{16} \ + \ 3 · \frac{27}{8} \ = \ \frac{162 \ - \ 17}{16} \ = \ \frac{145}{16} \ \ . $ Entonces sí tenemos un resultado internamente consistente, pero nos dice que la solución $ \ \lambda = 4 \ $ está en la porción "imaginaria" de la elipse.