¿Qué significa el módulo de un no entero?

Question

Por ejemplo, en la ecuación

$ x=\frac{3}{5} \bmod 11$

El valor de $x$ es $5$ según wolfram alpha. Sé cómo manipular la ecuación para obtener el valor pero no entiendo qué significa el módulo de un no entero.

Answer 1

La notación es ambigua y requiere contexto para interpretar.

Aditivamente $x=11n+\frac 35$ - el lenguaje del módulo se usa de esta manera a menudo con funciones trigonométricas módulo $\pi$ o módulo $2\pi$ y en contextos similares.

Multiplicativamente puede ser equivalente a $5x\equiv 3 \mod 11$.

En ausencia de otra información, con $11$ siendo primo, la interpretación más obvia sería la segunda, asumiendo que el contexto sería aritmética entera módulo $11$, y observando que la división es inversa de la multiplicación, por lo que la interpretación multiplicativa es probable.

Answer 2

En otras palabras, $x=3\cdot 5^{-1}\pmod{11}.$ Aquí, $5^{-1}\pmod{11}$ indica un entero $n$ tal que $5n=1\pmod{11}.$ ¿Sabes cómo encontrar tal entero?