Determinar el volumen de un sólido dado límites específicos

Question

Determina el volumen del sólido encerrado por el paraboloide $z = x^2 + y^2$ y el plano con la ecuación $4x 2y + z = 0$.

¿Alguien podría explicarme si debo usar una doble integral en coordenadas polares o una triple integral en coordenadas esféricas?

Si no es mucha molestia, ¿podrías explicarme en general?

Usando coordenadas esféricas, deduje que $0 \leq \theta \leq 2 \pi$

y

$p$(radio) $= p^2sin^2\theta$

así que

$psin^2\theta = 0$

¿Es esto correcto? Realmente estoy atascado en este punto.

Agradecería mucho si alguien pudiera explicarme cuándo usar las coordenadas esféricas o las coordenadas polares, y cómo aplicarlas. Si no es mucha molestia.

Muchas gracias.

Answer 1

Por lo general, cuando tu dominio de integración es una esfera, utilizas coordenadas esféricas. Si tu dominio de integración es un círculo o disco, utilizas coordenadas polares. En este ejemplo, el dominio del valor de $z$ va desde $0$ hasta el plano $z=-4x+2y$, por lo que aparentemente las coordenadas esféricas no funcionarían bien.

Ahora, si miras la proyección del objeto en el plano $xy$, es un círculo $-4x+2y=x^2+y^2$. Puedes ver que es un círculo completando los cuadrados. Ahora puedes usar coordenadas polares en $xy$. Sin embargo, debes tener cuidado porque el centro de este círculo no está en el origen. Por lo tanto, al usar coordenadas polares, debes establecer $x=h+p\cos\theta, y=k+p\sin\theta$. He utilizado tu notación $p$ para el radio, y $(h,k)$ es el centro del círculo.