La proporción necesaria para probar un número entero.

Question

Si $m, n \in \mathbb{W}=\{0,1,2,3,...\}$ prueba que $$\frac{(2n)!(2m)!}{n!m!(m+n)!}\in \mathbb{W} $$
Intenté dividir en casos $$(1):m=n\\(2):n>m\\(3):m>n $$ (2),(3) son lo mismo.
(1):$$m=n \to\frac{(2n)!(2n)!}{n!n!(n+n)!}=\frac{(2n)!}{n!n!}=\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \in \mathbb{W} $$ (2):$$n>m \to \frac{(2n)!(2m)!}{n!m!(m+n)!}=\\ \frac{(2n)!(2m)!}{n!m!(m+n)!} $$ en este paso, me quedé atascado para mostrar $ \in \mathbb{W}$ ¿cómo puedo concluir?
¿Hay otra idea para demostrarlo (como una prueba combinatoria)?
gracias por cualquier ayuda de antemano.

Answer 1

Para cualquier primo $p$, según el Teorema de Legendre $$ \nu_p\left(\frac{(2n)!(2m)!}{n!m!(n+m)!}\right)=\sum_{h\geq 0}\left(\underbrace{\left\lfloor\frac{2n}{p^h}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2m}{p^h}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n}{p^h}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{m}{p^h}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{n+m}{p^h}\right\rfloor}_{\color{red}{\geq 0}.}\right)$$