Antes de comenzar, es necesario definir algunos conceptos. Supongamos que tenemos un simple $n$-gono $P$ con un conjunto de vértices $\{v_1, v_2, v_3,...,v_n\}$ donde los vértices $v_k$ y $v_{k+1}$ están conectados por un borde, al igual que $v_n$ y $v_1$.
Definición 1: Un vértice $v_k$ se llama una oreja si el segmento de línea que conecta $v_{k-1}$ y $v_{k+1}$ cae completamente dentro del interior de $P$.
Definición 2: Un vértice $v_k$ se llama una boca si el segmento de línea que conecta $v_{k-1}$ y $v_{k+1}$ cae completamente dentro del exterior de $P$.
Definición 3: $P$ se llama un polígono antropomórfico si tiene exactamente dos orejas y una boca.
Definición 4: $P$ se llama un polígono municipal si tiene exactamente $2p$ orejas y $p$ bocas para $p\in\mathbb{N}$. $p$ se llama el orden de $P$.
Concedo que, si bien los polígonos antropomórficos son un término real y reconocido (ver este artículo de Godfried Toussant), "polígonos municipales" es un nombre que he inventado. Pido disculpas si esta clase de polígono tiene un nombre establecido que no estoy usando, pero no he podido encontrar información al respecto.
Podemos asociar cada polígono municipal con una palabra compuesta de $I$'s y $O$'s al comenzar en algún vértice y trabajar en sentido horario alrededor del polígono. Podemos definir alguna función $f(v_k)$ tal que $f(v_k)=I$ si $m\angle v_k<180^\circ$ y $f(v_k)=O$ si $m\angle v_k>180^\circ$. Luego podemos aplicar esta función a cada vértice, concatenar las salidas, y decir que esa palabra está asociada con el polígono $P$. Después de reflexionar un poco, se hace evidente que la palabra asociada con un polígono municipal de orden $p$ debe contener al menos $2p\ I$'s y $p\ O$'s.
Definición 5: Dos polígonos son isomorfos si sus palabras asociadas provienen de la misma forma.
Podemos desglosar aún más la clase de polígonos municipales con la siguiente definición:
Definición 6: Un polígono municipal se llama perfecto si es un $3p$-gono de orden $p$, e imperfecto si es un $m$-gono donde $m>3p$.
Hasta donde yo sé, existen exactamente tres hexágonos municipales perfectos no isomorfos, vistos a continuación, cada uno con 4 orejas y 2 bocas. Estos están asociados con las palabras $OOIIII$, $OIIOII$, y $OIOIII$, de izquierda a derecha.
Teorema: No puede haber más de ${3p \choose p}-2$ polígonos municipales perfectos de $3p$.
La demostración de este teorema es simple. Un polígono municipal perfecto de $3p$ tendrá una palabra asociada compuesta de $2p\ I$'s y $p\ O$'s. Por lo tanto, hay ${3p \choose p}$ palabras diferentes. Sin embargo, algunas de estas palabras se referirán a la misma forma: por ejemplo, $OOIIII$ y $IOOIII$ son ambas formas válidas de referirse a la forma más a la izquierda de este diagrama. Siempre podemos elegir una palabra para ser la forma "canónica" del polígono y luego descartar cualquier versión desplazada por uno o dos.
La razón por la que limité el límite superior de esta manera es debido al hecho de que podríamos tener una palabra que sea $p$ copias de $OII$ concatenadas juntas. Si esta es la palabra que hemos elegido, entonces al menos podemos descartar de manera segura $IIO...IIO$ y $IOI...IOI$.
Estas son mis preguntas:
- ¿Cuántos polígonos municipales perfectos no isomorfos de orden $p$ existen? Tengo mi límite superior, pero incluso con $p=2$, el límite superior (ocho) está muy por encima del resultado real (tres). Sé que se puede reducir más, simplemente no sé cómo.
- ¿Cada palabra con $2p\ I$'s y $p\ O$'s corresponde a un polígono municipal perfecto? Es completamente posible que tengamos vértices que no sean ni orejas ni bocas, después de todo, y aun si todos lo son, no hay garantía de que todavía habrá $2p$ orejas y $p$ bocas.
- ¿Cuántos polígonos municipales no isomorfos de orden $p$ existen en general? Anticipé que esta sería una pregunta mucho más difícil y no me sorprendería si hubiera un suministro infinito de ellos. Por ejemplo, en el artículo vinculado anteriormente, el autor proporciona un ejemplo de un polígono antropomórfico que resulta ser un 17-gono. Imagino que fácilmente se podrían encontrar ejemplos flagrantes similares a esto para los polígonos municipales también.
Cualquier ayuda sería apreciada. ¡Gracias!
