¿Por qué es cierta potencia de una matriz de permutación siempre la identidad?

Question

Si usted toma los poderes de una permutación, es por qué algunos $$ P ^ k = I $$

Encontrar una permutación de 5 por 5 $$ P $$ para que la energía más pequeña al igual es $$ P ^ 6 = I $$

(Esta es una cuestión de desafío, combina un bloque de 2 en 2 con un bloque de 3 por 3).

No pude resolver la pregunta de todos modos, pero ¿qué significa bloque de 2 por 2? ¿Es el bloque de otra forma de decir matriz? Gracias

Answer 1

Hay solamente finito muchas maneras de permutar finito muchas cosas. Así que en la secuencia $$P^1,\ P^2,\ P^3,\ldots$ $ de poderes de una permutación $P$, finalmente habrá dos potencias que dan la misma permutación, lo que significa que el $P^i=P^j$ $i>j\geq0$. Permutaciones son reversibles por lo $P$ es invertible, por lo tanto, $$P^{i-j}=P^iP^{-j}=P^j(P^j)^{-1}=I.$ $

Y sí, un $2\times2$-bloque significa una $2\times2$ matriz aquí. La pista se aconseja para elegir un $5\times5$ matriz que tiene una $2\times2$-matriz y una $3\times3$ matriz en su diagonal y ceros en otra parte.

Answer 2

Ok, aquí vamos: tenga en cuenta que en un número finito de grupo de cada elemento tiene orden finito, véase, por ejemplo, aquí una prueba. Esto significa que en un grupo finito $G$ usted puede encontrar una $n\in \mathbb{N}$ por cada $g\in G$ s.t. $g^n=e$.

Ahora usted tiene un grupo de homomorphism $\varphi:S_n\to Gl_n$ a través del siguiente mapa: tomar la standardbasis $e_1,\ldots,e_n$ y un elemento $\sigma \in S_n$,$\varphi(\sigma)=(e_{\sigma(1)},\ldots,e_{\sigma(n)})$, aquí me refiero a la de la matriz se extendió por este vectores. Usted debe comprobar que esta es, de hecho, un grupo de morfismos.

Para un grupo de morfismos usted tiene que $\varphi(\sigma)^n=\varphi(\sigma^n)$ y desde $S_n$ es un grupo finito de encontrar un $n \in \mathbb{N}$ s.t. $\varphi(\sigma)^n=\varphi(\sigma^n)=\varphi(id_{S_n})=id_{Gl_n}$.

Ahora, en su última parte le sugiero que pruebe que la matriz asociada a $(123)(45)$ en el grupo por encima de morfismos.