Irreducibilidad de una variedad afín en un espacio afín vs en un espacio proyectivo.

Question

La Proposición 5.5 en Geometría Algebraica para Estudiantes Universitarios por Reid dice (sólo escribo una breve idea ya que la proposición es larga e involucra algunas otras notaciones para definir):

La variedad afín $U$ es irreducible si y solo si su cierre $\bar{U}$ en un espacio proyectivo es irreducible.

Puedo probarlo usando la correspondencia entre $U$ y $I(U)$, y entre $\bar{U}$ y $I^h(\bar{U})$ donde $I^h$ es el ideal homogéneo definido por la variedad proyectiva $\bar{U}$. Creo que estaba correcto.

Leí esta pregunta: Irreducibilidad de una Variedad Afín y su Cierre Proyectivo y encontré una prueba mucho más corta proporcionada por el OP. Pero estoy confundido al respecto.

Él asumió $U=Z_1\cup Z_2$ donde $Z_1, Z_2$ son conjuntos cerrados. Así que $Z_1\cup Z_2 \supset \bar{U}.

Tal vez porque tengo poca base en topología, estoy muy confundido aquí. La irreducibilidad de una variedad afín $U$ se define por no ser una unión de dos variedades no vacías. Si $Z_1, Z_2$ se definen de esta manera, entonces en el sentido de la topología de Zariski en el espacio proyectivo, $Z_1, Z_2$ son conjuntos abiertos.

Desde otra dirección, si definimos la irreducibilidad de una variedad afín en términos de unión de conjuntos cerrados, ¿es en el sentido de la topología de Zariski en el espacio afín o en el espacio proyectivo? Si es en el espacio afín, entonces $Z_1, Z_2$ no son cerrados en el espacio proyectivo.

¿No hay ambigüedad en esta definición y en la prueba anterior?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

¿Qué definición de irreducible estás utilizando? La que tengo en mente, que también es la definición dada en Hartshorne, es:

Definición: Un subconjunto no vacío de un espacio topológico $Y \subseteq X$ es irreducible si no puede ser expresado como una unión $Y = Y_1 \cup Y_2$ de dos subconjuntos propios, cada uno de los cuales está cerrado en $Y$.

Por lo tanto, decimos que un espacio reducible no es un espacio irreducible, por lo tanto asumimos $Y = Y_1 \cup Y_2$, donde $Y_i$ son espacios propios cerrados en la topología del subespacio de $Y$.

La irreducibilidad de una variedad afín se define por no ser una unión de dos variedades no vacías.

Estoy un poco confundido por esto. La irreducibilidad es una noción que proviene de la topología general. Por lo tanto, al construir la geometría algebraica, debemos ser cuidadosos y asegurarnos de que nuestras terminologías coincidan con las nociones de la topología. La declaración anterior podría estar bien como un teorema, pero no como una definición.

También hay que tener en cuenta que los autores frecuentemente distinguen entre conjuntos algebraicos y variedades algebraicas. Para mí, variedad algebraica significa un conjunto algebraico irreducible.