Biyeción entre emparejamientos sin cruces en $2b$ puntos y Tableros de Young estándar de tamaño $2 \times b$.

Question

Actualmente estoy leyendo un artículo de revisión llamado Dynamical Algebraic Combinatorics: Promotion, Rowmotion, and Resonance por Jessica Striker. En este artículo, Striker escribe que hay una biyección ''agradable'' entre el conjunto de emparejamientos no cruzados de $2b$ puntos y $SYT(2 \times b)$, el conjunto de tableros de Young estándar de tamaño $2 \times b$. Aquí hay dos ejemplos de la biyección:

Desafortunadamente, no puedo entender exactamente cómo funciona esta biyección.

Como se puede ver en la figura, dado cualquier par $(i, j)$ con $i

Answer 1

Si puedes entender Mathematica, el siguiente código hace lo que deseas. Primero convierte el SSYT en un camino Dyck (0 y 1), siempre comenzando con un 0, y luego a partir de ahí, lo convierte en un emparejamiento perfecto.

SSYTToDyckWord[tab_List] := Module[{n = Length[tab[[1]]]},
   Table[Boole[! MemberQ[tab[[1]], k]], {k, 2 n}]
   ];
DyckWordToNoncrossingMatching[dw_List] := 
  Module[{n = Length@dw, dw2 = dw, pm = {}, rem, p},
   rem = Range[n];
   While[Length[dw2] > 0,
    p = Position[dw2, 0, 1][[-1, 1]];
    AppendTo[pm, {rem[[p]], rem[[p + 1]]}];
    rem = Delete[rem, {{p}, {p + 1}}];
    dw2 = Delete[dw2, {{p}, {p + 1}}];
    ];
   Sort@pm
   ];
DyckWordToNoncrossingMatching@
 SSYTToDyckWord[{{1, 2, 3, 4, 7}, {5, 6, 8, 9, 10}}]

Esto devuelve {{1, 10}, {2, 9}, {3, 6}, {4, 5}, {7, 8}}