Matrices que conmutan con una Suma de Kronecker

Question

En el transcurso, sean $A$ y $B$ matrices complejas de $m \times m$ y $n \times n$ respectivamente. Por $A \otimes B$, nos referimos a la matriz formada a partir del producto de Kronecker de $A$ y $B$, y por $A \oplus B$, nos referimos a la matriz formada por la suma de Kronecker de $A$ y $B$. Es decir, $$A \otimes I_n + I_m \otimes B,$$ donde $I_r$ es una matriz identidad de $r \times r$.

Sea $C$ una matriz arbitraria de $mn \times mn$ que conmuta con $A \oplus B$. ¿Qué se puede decir sobre $C$?

Por ejemplo, se puede escribir $C$ como $$C=\sum_{k=1}^m\sum_{l=1}^n (X_{kl} \otimes e^n_{kl})=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n (e^m_{ij} \otimes Y_{ij}),$$ donde $e^r_{ij}$ es la matriz estándar de $r \times r$ con un 1 en la entrada $(i,j)$ y todos los demás elementos son 0, y $X_{kl}$ y $Y_{ij}$ son matrices de $m \times m$ y $n \times n$ respectivamente. Si $C$ conmuta con $A \oplus B$, ¿entonces todas las matrices $X_{kl}$ conmutan con $A$ y todas las matrices $Y_{ij}$ conmutan con $B$?

Hasta ahora no he encontrado contraejemplos a lo anterior, pero tampoco logro ver por qué podría ser cierto en general. Si escribimos $$C(A \oplus B)=(A \oplus B)C$$ entonces podemos deducir a partir de la propiedad de multiplicación mixta de los productos de Kronecker que $$\sum_{k=1}^m\sum_{l=1}^n ((X_{kl}A-A X_{kl}) \otimes e^n_{kl}) + \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n (e^m_{ij} \otimes (Y_{ij}B-B Y_{ij}))=0,$$ pero no me parece claro en absoluto que se pueda deducir de esto que $X_{kl}A-A X_{kl}=0$ y $Y_{ij}B-B Y_{ij}=0$ para cualquier $i,j,k,l$.

Answer 1

Sea $spectrum(A)=(\lambda_i)_{i\leq m},spectrum(B)=(\mu_j)_{j\leq n}$.

Consideramos el caso cuando $A,B$ son genéricos (por ejemplo, tome $A,B$ al azar). Entonces los $(\lambda_i)$ (resp. los $(\mu_j)$) son distintos.

Además, $spectrum(A\oplus B)=(\lambda_i+\mu_j)_{i,j}$ tiene $mn$ elementos distintos - Note que $A\otimes I$ y $I\otimes B$ conmutan-.

Entonces $C(A\oplus B)$ es un espacio vectorial de dimensión $mn$ constituido por los polinomios en $A\oplus B$.

Finalmente, las $mn$ matrices linealmente independientes en la forma $A^i\otimes B^j,i< m,j constituyen una base de $C(A\oplus B)$.

EDIT. Respuesta al OP. Creo que no entendiste ni una palabra de mi publicación.

Para i) Una matriz genérica $A=[a_{i,j}]$ es tal que no hay relaciones algebraicas entre los $(a_{i,j})$. Más precisamente, los $(a_{i,j})$ se consideran parámetros (son mutuamente trascendentales sobre $\mathbb{C})$. Puedes simular tal matriz eligiéndola al azar. Hazlo con tu PC en lugar de escribir pseudocontraejemplos; encontrarás en particular que para dichas matrices $A,B$, los $\lambda_i+\mu_j$ son distintos.

Para ii). Mi amigo, $C(A\oplus B)$ es el conmutante de $A\oplus B$ (notación bien conocida) y, por lo tanto, es un espacio vectorial. Por otro lado, el conmutante de una matriz que tiene valores propios distintos está constituido por los polinomios en esta matriz.

Para iii). Tus pseudocontraejemplos son solo casos particulares bien conocidos (todo lo que escribes es absolutamente estándar y no es el objeto de mi publicación). Con probabilidad $1$, el conmutante de tu matriz admite los $(A^i\otimes B^j)$ como base.

Para iv). Cuando no se entiende, se pregunta. No tengo la intención de perder más tiempo con tu archivo.