¿Cómo resolver $\lim _{x\to \infty}\dfrac{x^5}{2^x} $ sin utilizar la Regla de L'Hôpital?

Question

Teniendo en cuenta que asintóticamente, $2^x$ crece más rápido que $x^5$ (al principio, $x^5$ crece más rápido que $2^x$, pero habrá un punto en el que $2^x$ supere a $x^5$), entonces $\dfrac{x^5}{2^x} \rightarrow 0$ cuando $x \rightarrow \infty$. Por lo tanto,
$$\lim _{x\to \infty}\dfrac{x^5}{2^x} = 0$$

Pero para resolver el límite, apliqué la Regla de L'Hôpital cinco veces

\begin{align} \lim _{x\to \infty}\dfrac{x^5}{2^x} & =\lim _{x\to \infty}\dfrac{5x^4}{2^x\ln 2}\\ & = \lim _{x\to \infty}\frac{20x^3}{\ln^2(2)\cdot 2^x} \\ & = \lim _{x\to \infty}\frac{60x^2}{\ln^3(2)\cdot 2^x} \\ & = \lim _{x\to \infty}\frac{120x}{\ln^4(2)\cdot 2^x} \\ & = \lim _{x\to \infty}\frac{120}{\ln^5(2)\cdot 2^x} \\ & = \frac{120}{\ln^5(2)}\cdot\lim _{x\to \infty}\frac{1}{2^x} \\ & = 0 \end{align}

¿Cuál sería una forma más elegante de resolverlo sin usar la Regla de L'Hôpital?

Edit

Aunque el Límite: $\lim_{n\to \infty} \frac{n^5}{3^n}$ es similar, encontré el enlace proporcionado por Axion004, ¿Cómo demostrar que la exponencial crece más rápido que el polinomial? más interesante. Además, la respuesta proporcionada por el usuario trancelocation fue muy interesante y es lo que estaba esperando.

Answer 1

$x^5$ y $2^x$ son ambos crecientes monótonamente, esto es importante porque garantiza que no hay un comportamiento "extraño" en ningún subconjunto de la recta real. Al mismo tiempo, como has notado, $(2^x)'>(x^5)'$. Este análisis garantiza el límite. Por supuesto, para ser rigurosos al respecto, tendrías que demostrar ambas afirmaciones hechas aquí, por lo que la solución con la regla de L'Hopital podría ser el método más sencillo.

Answer 2

En esta respuesta se muestra sin usar la regla de L'Hopital que para todo $n>0$,

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{e^x}=0. \tag{1}$$

Podemos usar $(1)$ para demostrar que para cualquier $n>0$ y $a > 1$,

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}=0. \tag{2}$$

Para hacer esto, escribimos $a^x = e^{(\log a)x}$ donde $\log a$ es positivo ya que $a>1$. Entonces, si definimos $y=(\log a)x$,

$$\frac{x^n}{a^x}=\frac{x^n}{e^{(\log a)x}}=\frac{1}{(\log a)^n}\frac{y^n}{e^y}.$$

Cuando $x\to\infty$, sabemos que $y\to\infty$ porque $\log a >0$. Por lo tanto, el comportamiento de $x^n/a^x$ sigue el de $y^n/e^y$ que es cero según $(1)$. Por lo tanto, su límite es cero ya que es un caso especial de $(2)$ donde $n=5$ y $a=2$.