¿Cómo resolver $\lim _{x\to \infty}\dfrac{x^5}{2^x} $ sin utilizar la Regla de L'Hôpital?

Question

Teniendo en cuenta que asintóticamente, $2^x$ crece más rápido que $x^5$ (al principio, $x^5$ crece más rápido que $2^x$, pero habrá un punto en el que $2^x$ supere a $x^5$), entonces $\dfrac{x^5}{2^x} \rightarrow 0$ cuando $x \rightarrow \infty$. Por lo tanto,
$$\lim _{x\to \infty}\dfrac{x^5}{2^x} = 0$$

Pero para resolver el límite, apliqué la Regla de L'Hôpital cinco veces

\begin{align} \lim _{x\to \infty}\dfrac{x^5}{2^x} & =\lim _{x\to \infty}\dfrac{5x^4}{2^x\ln 2}\\ & = \lim _{x\to \infty}\frac{20x^3}{\ln^2(2)\cdot 2^x} \\ & = \lim _{x\to \infty}\frac{60x^2}{\ln^3(2)\cdot 2^x} \\ & = \lim _{x\to \infty}\frac{120x}{\ln^4(2)\cdot 2^x} \\ & = \lim _{x\to \infty}\frac{120}{\ln^5(2)\cdot 2^x} \\ & = \frac{120}{\ln^5(2)}\cdot\lim _{x\to \infty}\frac{1}{2^x} \\ & = 0 \end{align}

¿Cuál sería una forma más elegante de resolverlo sin usar la Regla de L'Hôpital?

Edit

Aunque el Límite: $\lim_{n\to \infty} \frac{n^5}{3^n}$ es similar, encontré el enlace proporcionado por Axion004, ¿Cómo demostrar que la exponencial crece más rápido que el polinomial? más interesante. Además, la respuesta proporcionada por el usuario trancelocation fue muy interesante y es lo que estaba esperando.

Answer 1

Puedes usar la expansión en series $e^t = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}$ de la siguiente manera:

Para $x>0$ tienes $$\frac{x^5}{2^x}= \frac{x^5}{e^{x\ln 2}}< \frac{x^5}{\frac{(x\ln 2)^6}{6!}}= \frac{6!}{\ln^6 2}\cdot \frac 1x$$

Answer 2

Consejo:

\begin{align*} \frac{x^5}{2^x} &= \exp \left(5 \ln(x)-x \ln(2)\right) \\ &= \exp \left[x\left(5 \frac{\ln(x)}{x}-\ln(2) \right)\right] \end{align*}

Ahora, tienes el límite muy clásico (que se puede demostrar con un método elemental) $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$$

entonces $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(5 \frac{\ln(x)}{x}-\ln(2) \right) = -\ln(2)$$

entonces $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left[x\left(5 \frac{\ln(x)}{x}-\ln(2) \right)\right] = -\infty$$

y ya está.

Answer 3

Como una forma alternativa, mediante la prueba de la razón

$$\frac{\dfrac{(n+1)^5}{2^{n+1}}}{\dfrac{n^5}{2^n}}=\frac12\left(1+\frac1n\right)^5 \to \frac12 \implies \dfrac{n^5}{2^n} \to 0$$

y dado que $\forall x>0\quad \exists n$ tal que $n\le x\le n+1$ tenemos

$$\dfrac{x^5}{2^x}\le \dfrac{(n+1)^5}{2^{n}}=2 \dfrac{(n+1)^5}{2^{n+1}} \to 0$$

Answer 4

Sea $x=5u$. Entonces

$$\lim_{x\to\infty}{x^5\over2^x}=5^5\left(\lim_{u\to\infty}{u\over2^u}\right)^5$$

por lo que basta con calcular $\lim_{u\to\infty}u/2^u$. Hagámoslo usando una desigualdad partiendo del teorema binomial:

$$2^n=(1+1)^n=1+{n\choose1}+{n\choose2}+\cdots+1\gt{n\choose2}={n(n-1)\over2}\ge{n^2\over4}$$

para enteros $n\ge2$. Se sigue entonces que

$$0\le{u\over2^u}\le{\lceil u\rceil\over2^{\lfloor u\rfloor}}\le{\lfloor u\rfloor+1\over\lfloor u\rfloor^2/4}=4\left({1\over\lfloor u\rfloor}+{1\over\lfloor u\rfloor^2}\right)\to0$$

por lo que, por el Teorema del Prensa, $\lim_{u\to\infty}u/2^u=0$.

Answer 5

Todo lo que necesitamos saber es que $$ \lim_{t\to\infty}\frac{e^t}{t}=\infty \tag{1} $$

Demostremos que, para todo $a>1$ y $b>0$ (no necesariamente un entero), tenemos $$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^b}{a^x}=0 \tag{2} $$ Primero, realizamos la sustitución $x=by$, por lo que $a^x=(a^y)^b$ y nuestro límite se convierte en $$ \lim_{x\to\infty}b^b\Bigl(\frac{y}{a^y}\Bigr)^{b} \tag{3} $$ Bien, si podemos demostrar que el límite de la parte entre paréntesis es $0$, habremos terminado. Es bastante similar a $(1)$, ¿verdad? Dado que $a^y=e^{y\log a}$, podemos realizar una sustitución adicional $y\log a=z$ y obtenemos $$ \lim_{y\to\infty}\frac{y}{a^y}=\lim_{z\to\infty}\frac{1}{\log a}\frac{z}{e^z} \tag{4} $$ lo cual es efectivamente $0$ debido a $(1)$. La suposición de que $a>1$ se ha utilizado aquí, porque en este caso $\log a>0$.

¿Deberíamos demostrar $(1)$? Se pueden encontrar varias demostraciones que no utilizan l’Hôpital. Quizás la más simple sea utilizar el teorema del valor medio para demostrar que, para $t>0$, se cumple que $$ e^t>1+t+\frac{t^2}{2} $$