Cambio de variable en la integral de Ito

Question

Actualmente estoy leyendo SDE de Oksendale y me confundí en una ecuación que involucra un cambio de variable.

Aquí está la ecuación (con $\{X_t\}$ siendo una difusión de Ito y $X_{t}^{s,x}$ siendo una solución de difusión de Ito al problema de valor inicial con tiempo inicial $s$ y posición inicial $x$,)

\begin{align*} X_{s+h}^{s,x}&= x+\int_s^{s+h}b(X_u^{s,x})du+\int_{s}^{s+h}\sigma(X_u^{s,x})dB_u\\ &=x+\int_0^{h}b(X_{s+v}^{s,x})dv+\int_{0}^{h}\sigma(X_{s+v}^{s,x})d\tilde{B}_v \end{align*} donde el cambio de variable es $u=s+v$ y donde $\tilde{B_{v}}=B_{s+v}-B_s$.

Pensé que sería solo $dB_v$ en lugar de $d\tilde{B}_v$ pero aparentemente no lo es. Personalmente no pude encontrar una referencia para ello. ¿Alguien sabe por qué es?

Answer 1

Esta no es una respuesta adecuada ya que carece de formalismo, ¡aún así podría resultarte útil para entender la intuición! Avísame si te ayudó.

$$\int_{s}^{s+h}\sigma(X_u^{s,x})dB_u$$ En la integral estocástica original puedes ver que la variable $u$ va desde $s$ hasta $s+h$, por lo tanto tu integrador va desde $B_s$ hasta $B_{s+h}$.

Si haces lo que propusiste, sin cambiar el movimiento browniano, obtendrías lo siguiente:

$$\int_{0}^{h}\sigma(X_{s+v}^{s,x})d{B}_v$$

Observa que en esta expresión la variable $v$ va desde $0$ hasta $h$ y por lo tanto tu integrador va desde $B_0=0$ hasta $B_h$. Puedes ver que esto no es igual que antes, simplemente porque estás integrando tu función contra una porción diferente de la trayectoria de la muestra del MB.

Por lo tanto, para mantener las cosas iguales necesitas que tu integrador vaya desde $B_s$ hasta $B_{s+h}$, y lo logras construyendo un nuevo movimiento browniano, $\tilde{B}_v=B_{s+v}-B_s$.

Por lo tanto, tu nuevo integrador va desde $B_s-B_s$ hasta $B_{s+h}-B_s$. (Todavía tienes este "menos" $B_s$ pero de hecho la integral te da el mismo resultado que si consideras $B_{s+v}$ solo, el hecho es que si defines $\tilde{B}_v=B_{s+v}$ entonces no es un movimiento browniano ya que $P(\tilde{B}_0=0)\neq 1$).)