Si $a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4} = 0$ entonces el cúbico relevante tiene una raíz entre $0$ y $1$

Question

Si $a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4} = 0$ entonces prueba que la función $$P(x)=a+bx+cx^2+dx^3$$ tiene una raíz en algún lugar entre $0$ y $1$.

Si tiene una raíz entre $0$ y $1$ entonces podría demostrar que cambia de signo entre $0$ y $1$. Pero algunos cúbicos tienen raíces donde no cambian de signo.

$$P(1)=a+b+c+d\\P(0)=a$$ Entonces $$P(1)=a+b+c+d=\\a+b+c+d-(a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4})\\=\frac{b}{2} + \frac{2c}{3} + \frac{3d}{4}\\P(0)=a=a-(a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4})\\= -\frac{b}{2} -\frac{c}{3} - \frac{d}{4}$$ Siento que estoy cerca.

Aunque estoy seguro de que hay una solución utilizando la fórmula para raíces cúbicas, no creo que deba usarla, porque la siguiente parte de la pregunta (que espero poder hacer por mí mismo) pide generalizar el resultado a cualquier polinomio.

Answer 1

.Considera el polinomio definido por: $Q(x) = ax + \frac{bx^2}{2} + \frac{cx^3}{3} + \frac{dx^4}{4}$. Tenga en cuenta que $Q(0) = 0$, ya que $Q(x)$ tiene término constante $0$. Además, $Q(1) = a + \frac b2 + \frac c3 + \frac d4 = 0$. Por lo tanto, hemos ubicado dos raíces de $Q$, $0$ y $1$.

Por lo tanto, según el teorema de Rolle, la derivada de $Q$ tiene una raíz entre $0$ y $1$. Pero puedes ver que $Q'(x) = P(x)$, por lo que $P(x)$ tiene una raíz entre $0$ y $1$.