Propiedades de Markov de Tiempo Discreto y Continuo

Question

$\newcommand{\indep}{\perp\!\!\!\perp}$ En tiempo discreto, la propiedad de Markov es $$P[X_{n+1}\in A\mid X_n=s_n,X_{n-1}=s_{n-1}\dots ]=P[X_{n+1}\in A\mid X_n=s_n]$$ Por otra parte, la "propiedad general de Markov" como se da en los Fundamentos de la Probabilidad Moderna de Kallenberg es la independencia condicional $$X_u \indep _{X_t}{} \mathcal{F}_t$$ para cualquier $t\leq u$.

Lo que me preocupa es la libertad de $u$ y $t$ en el caso general en comparación con $n+1$ y $n$ en el tiempo discreto - en el caso general se podría tomar $u$ mucho más grande que $t$, sin embargo, no hay nada como $$P[X_{m}\in A\mid X_n=s_n,X_{n-1}=s_{n-1}\dots ]=P[X_{m}\in A\mid X_n=s_n]$$ para $m\geq n$.

¿Por qué es la formulación en tiempo discreto así?

Answer 1

La versión de la propiedad de Markov en tiempo discreto que mencionaste en tu publicación implica la propiedad más general de que, para cada $k\geqslant1$, $$P[X_{n+k}\in A\mid X_n=s_n,X_{n-1}=s_{n-1},\ldots,X_0=s_0]=P[X_{n+k}\in A\mid X_n=s_n].$$ De manera equivalente, para cada $m\geqslant n+1$, $$X_m \indep_{X_n}\mathcal{F}_n.$$