Demostrar que $u'(t)= \lambda u(t)$ tiene solo una solución única

Question

Sea $a \in \mathbb{R} \quad$ $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto a\cdot x $ una función continua y sea $u_0$ un valor inicial en $\mathbb{R}$.

Mostré que si $u\in C^1([0,\infty])$ satisface

$$ \begin{cases} u'(t) = f(u(t))\\ u(0) = u_0 \end{cases} $$

entonces es equivalente a afirmar que

$$u(t)=u_0+ \int_0^t f(u(s)) ds$$ lo cual era parte del ejercicio. Ahora solo quiero demostrar que existe exactamente una solución $u\in C^1(\mathbb{R}_+)$ que satisface las propiedades anteriores.

Pienso que es $u(t)=u_0\cdot e^{at}$. Ahora necesito demostrar que es única. Intenté afirmar que hay una segunda solución y luego mostrar que $u(t)=g(t)$ para todo $t$ usando solo las propiedades anteriores pero no hice mucho progreso. ¿Cuál es un buen enfoque para mostrar que es única?

Nota: No tengo antecedentes en ecuaciones diferenciales si esta es una (esto es parte de un curso de cálculo)

Answer 1

Puedes usar la regla del producto para demostrar que la derivada de $g(t) = e^{-at}u(t)$ es cero, y el teorema del valor medio implica que una función con derivada igual a cero es constante. (Esta constante está, por supuesto, determinada de manera única por la condición inicial).