¿Cómo demostrar que los espinors de Weyl se transforman como una representación del grupo de Lorentz?

Question

En mis notas de lectura de QFT, está escrito que los elementos del grupo de Lorentz se pueden escribir como \begin{equation*} \Lambda = e^{i\vec{\theta}\cdot\vec{J} + i\vec{\eta}\cdot\vec{K}} \end{equation*}

donde $\Big\{\vec{J}, \vec{K}\Big\}$ son los generadores del álgebra de Lorentz.

Después de esto, escriben que los espinors de Weyl se transforman bajo una representación del grupo de Lorentz, como \begin{equation*} \phi' = e^{i\frac{\vec{\sigma}}{2}\cdot\left(\vec{\theta} - i\vec{\eta}\right)}\phi \end{equation*}

Aquí, como $\Big\{\frac{\vec{\sigma}}{2}, -i\frac{\vec{\sigma}}{2}\Big\}$ efectivamente satisface las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz, es en efecto una representación del álgebra de Lorentz $\Big\{\vec{J}, \vec{K}\Big\}$. Sin embargo, no todas las representaciones de álgebras de Lie conducen a una representación del grupo de Lie por exponenciación. Entonces, para el caso del espinor de Weyl, ¿cómo podemos mostrar que la regla de transformación es de hecho una representación del grupo de Lorentz?

Answer 1

En resumen: Para discutir representaciones de grupos de espinores no proyectivas necesitamos ir al grupo recubridor universal.

En detalle:

1. Primero definimos un espinor de Weyl (izquierdo) $\phi$ que transforma en la representación de grupo definitorio de $SL(2,\mathbb{C})$, que es el doble recubrimiento del restringido grupo de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$.

2. Solamente después, deberíamos identificar el álgebra de Lie correspondiente $sl(2,\mathbb{C})\cong so(1,3;\mathbb{R})$, la representación del álgebra de Lie, y sus 6 generadores de boost y rotaciones.